李祥

对一元二次方程在中考压轴题中的考查主要体现在两个方面，一是对根与系数关系的考查，二是结合一元一次方程（不等式）、一次函数、二次函数等知识点在实际问题中的综合运用，对能力要求较高。现结合2021年各地中考题进行解读，希望能帮助同学们更好地解决一元二次方程的压轴题。

例1 （2021·四川泸州）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m=0的两实数根x1、x2满足x1x2=2，则（x12+2）（x22+2）的值是（）。

A.8B.16C.32D.16或40

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，解得m=2或m=-1，再分别代入一元二次方程中，利用完全平方公式变形解题即可。

解：由一元二次方程x2+2mx+m2-m=0知a=1，b=2m，c=m2-m，

∴x1x2=[ca]=m2-m=2，即m2-m-2=0，

∴（m-2）（m+1）=0，

∴m=2或m=-1。

当m=2时，原一元二次方程为x2+4x+2=0，∴x1+x2=[-ba]=-4。

∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，

∴（x12+2）（x22+2）=（x1x2）2+2（x12+x22）+4=（x1x2）2+2（x1+x2）2-4x1x2+4=22+2×（-4）2-4×2+4=32。

当m=-1时，原一元二次方程为x2-2x+2=0，∵Δ=（-2）2-4×1×2=-4<0，原方程无解，不符合题意，故舍去。故选C。

利用韦达定理解出m的值是基本要求，而用韦达定理的前提是此一元二次方程有根，这才是考查的难点。因此，把m的值代入方程，验证根的判别式，才能真正确定符合题意的m的值。

例2 （2021·重庆）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎。某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）。已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元。

（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？

（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份。为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低[34a]%。统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加[52a]%，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加[511a]%。求a的值。

【分析】（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x元、y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可;（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可。

解：（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x元、y元。根据题意列方程组，得[3x+2y=31，4x+y=33，]解得[x=7，y=5。]

答：每份“堂食”小面的价格是7元，“生食”小面的价格是5元。

（2）根据题意，得4500×7+2500（1+[52a]%）

×5（1[-34a]%）=（4500×7+2500×5）（1+[511a]%），

解得a1=0（舍去），a2=8。

答：a的值为8。

本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是找准题目中的等量关系，列出方程，再运用相关知识解方程。本题的难点是面对众多数量，如何将等量关系可视化。我们可以通过列表将数据整合，然后根据各个数量的含义，列出文字表达式，进而列出方程。我们在解方程（组）时要胆大心细，不要被复杂的方程（组）吓倒，坚定地按照解法步骤解下去。一般来讲，应用题的答案是需要验证的，如果都不符合题意，则要重新回到题目，看是否漏了条件。

例3 （2021·浙江湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人。

（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几;

（2）若该景区仅有A、B两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：

[购票方式 甲 乙 丙 可游玩影点 A B A和B 门票价格 100元/人 80元/人 160元/人 ]

据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万。并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600名原计划购买甲种门票的游客和400名原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票。

①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入;

②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？

【分析】（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为x，则四月份的游客为4（1+x）万人，五月份的游客为4（1+x）2万人，再列方程，解方程可得答案。

（2）①先分别计算购买甲、乙、丙种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案;②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，再列出W与m的关系式，利用配方法求最大利润即可得到答案。

解：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为x。

根据题意，得4（1+x）2=5.76。解这个方程，得x1=0.2，x2=-2.2（舍去）。

答：四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长20%。

（2）①丙种门票价格下降10元，则购买丙种门票的人数增加0.6+0.4=1（万人），购买甲种门票的人数为2-0.6=1.4（万人），购买乙种门票的人数为3-0.4=2.6（万人），所以门票收入为100×1.4+80×2.6+（160-10）×（2+1）=798（万元）。

答：景区六月份的门票总收入为798万元。

②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元。

根据题意，得W=100（2-0.06m）+80（3-0.04m）+（160-m）（2+0.06m+0.04m），

化简，得W=-0.1（m-24）2+817.6。

∵-0.1<0，∴当m=24时，W取最大值，为817.6万元。

答：当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，为817.6万元。

本题考查的是一元二次方程的应用，配方法是解决利润最大值题型的关键。当然，在学习了后面的知识之后，我們还可以用新知识再次认识这道题。

（作者单位：江苏省无锡市新安中学）