陈建国

[原题再现]

例1（八年级上册第98页）画出函数[y=3-2x]的图象，根据图象回答下列问题：（1）[y]值随[x]值的增大而 ;（2）图象与[x]轴的交点坐标是 ;与[y]轴的交点坐标是 ;（3）当[x] 时，[y>0].（解题过程略）

此题通过函数图象揭示了函数表达式中自变量[x]与对应的函数值[y]之间的数量关系和变化规律.在学习过程中，我们还可以对此题进行变式，从不同角度、不同方位进行探究.

[变式拓展]

变式1 求解析式

例2 已知一次函数图象经过A（1，1），B（-1，5）两点，求这个一次函数的解析式.

解析：用待定系数法求一次函数解析式，首先要设解析式为[y=kx+b（k≠0）]，再根据图象经过A（1，1），B（-1，5）两点，列方程组为[k+b=1，-k+b=5，]解得[k=-2，b=3，]则该一次函数的解析式为[y=-2x+3].

变式2 聚焦性质

例3 已知一次函数[y=3-2x]的图象经过两个点（a，b），（c，d），若[a<c]，则（[a-c]）（[b-d]）  0.（填“>”“<”或“=”）

解析：由一次函数[y=3-2x]知[k=-2<0]，所以[y]值随[x]值的增大而减小. 当[a<c]时，[b>d]，则（[a-c]）（[b-d]） < 0. 故应填<.

变式3 求最值

例4 已知一次函数的图象经过A（1，1），B（-1，5）两点，动点[P]在[x]轴上，求[PA+PB]的最小值.

解析：要求[x]轴上动点[P]到两定点距离之和的最小值，只要根据点的对称性，将x轴同侧的两点转换为[x]轴异侧的两点，再根据三角形的两边之和大于第三边求解即可.

首先作点[A]关于x轴的对称点[A1]（1，-1），

则[PA+PB=PA1+PB≥A1B]，

过点[B]作[x]轴的垂线，过[A1]作[y]轴的垂线，两线交于点[Q]，

如图1，则[BQ=6]，[A1Q=2]，

由勾股定理得A1B = [BQ2+A1Q2=210].

故[PA+PB]的最小值为[210].

变式4 与面积综合

例5 已知一次函数的图象经过[A]（1，1），B（-1，5）两点，[x]轴上是否存在点[P]，使[△PAB]的面积为4？若存在，求出点[P]的坐标，若不存在，请说明理由.

解析：由例2可知，一次函数的解析式为[y=-2x+3]，

令[y=0]，得[x=1.5]，∴[C]（1.5，0）.

分别过点[A]，[B]作[AM⊥x]轴，[BN⊥x]轴，垂足分别为[M]，[N]，

则[AM=1]，[BN=5].

[∵][S△PAB=S△PBC-S△PAC=4]，

[∴12PC⋅BN-12PC⋅AM=4]，解得[PC=2]，

[∴]如图2，在x轴上使△PAB的面积为4的点有两个，[P]（3.5，0），P1（-0.5，0）.

变式5 与全等综合

例6 如图3，若直线y = 3 - 2x与x轴、y轴分别交于点A，B，将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点C，求直线BC的函数解析式.

解析：由直线y = 3 - 2x与x轴、y轴分别交于点A，B，

则A（1.5，0），B（0，3），

过点A作AD⊥AB，交BC于D，过D作DE⊥AC，交AC于点E，

∵∠ABC = 45°，∴∠ABC = ∠ADB，∴AB = AD.

∵∠AOB = ∠DEA，∠BAO = ∠ADE，∴△AOB ≌ △DEA，

∴DE = OA = 1.5，AE = OB = 3，則D（4.5，1.5）.

设直线BC的函数解析式为y = kx + b，

将点B（0，3），D（4.5，1.5）代入y = kx + b，解得[y=-13x+3].

例1还可以从其他不同角度进行变式，希望同学们能在变化中分析、总结，从而做到活学活用.

能力提升

（2021·四川·遂宁·改编）已知一次函数y = kx + b经过点A（2，-1），B（3，-3），

（1）求一次函数解析式;

（2）若一次函数图象与y轴交于点M，y轴上有另一点N，△AMN的面积为3，求点N的 坐标;

（3）若y轴上有一点C，x轴上有另一点D，且四边形ABCD的周长最小，求点C，D的坐标.

答案：（1）y = -2x + 3;（2）N（0，0）或（0，6）;（3）C [0，-35]、D [34，0]