高顺华

[真题呈现]

例1（2020·湖南·娄底）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的赵爽“弦图”如图1所示，该图根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a - b）2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2 + b2 = c2，还可以用来证明结论：若a > 0，b > 0且a2 + b2为定值，则当a b时，ab取得最大值.

[追根溯源]

例2（八年级上册第5页“做一做”）为了计算图2中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后得到图3和图4.（1）将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来;（2）图3、图4中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴交流.（3）你能分别利用图3、图4验证勾股定理吗？（解答过程略）

[破解策略]

例1首先介绍了用赵爽“弦图”来证明勾股定理的思路，然后提出了新问题：若a > 0，b > 0且a2 + b2为定值，问当a，b之间有什么样的数量关系时，ab取得最大值.

由于a2 + b2为定值，我们不妨设a2 + b2为k，则c2 = a2 + b2 = k. 由赵爽“弦图”可知，2ab = c2 - （a - b）2 = k - （a - b）2，即ab = [k-（a-b）22]. 很明显，当a = b时，（a - b）2取最小值0，因此当a = b时，ab取得最大值，最大值为[k2]. 故应填“ = ”.

由上可见，对于最大（小）值的问题，我们常常将其转化为两个数差的平方，再借助于完全平方数的非负性来处理.这里是利用代数方法来解决几何问题，体现了数形结合的思想.

[原题延伸]

变式1：将赵爽“弦图”的四个直角三角形重新摆放

例3 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图5），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三……