冯福存

(宁夏师范学院 数学与计算机科学学院，宁夏 固原 756099)

自1885年T.Muir提出了轮换矩阵的概念后，众多数学工作者对其进行了大量研究，轮换矩阵的应用广泛，涉及众多现代科学和工程领域，如编码理论[1]、密码学[2]、数字图像识别[3]、最优化等领域.文献[4]给出有限域Fq上n阶轮换矩阵的特征多项式和极小多项式的表达式,文献[5]利用特征值给出了一类特殊循环矩阵的判别及其对角化方法.矩阵求逆是矩阵代数中的一个重要运算，矩阵可逆的判定有相应的等价命题，但逆矩阵的获得却困难较多.本文在文献[6]的研究基础上，利用特征值和矩阵行列式的关系及多项式理论的相关知识给出了轮换矩阵可逆的两个等价命题，并给出了轮换矩阵逆矩阵的计算方法.为了叙述方便，记F[x]表示数域F上的一元多项式全体组成的集合，Pn×n为数域P上全体n阶方阵的集合，本文所提矩阵若无特殊说明，均指n阶方阵.

1 预备知识

定义1 若A∈Cn×n有如下形式

称A为轮换矩阵.因为轮换矩阵由首行元素决定，可记为A=circ(a0,a1,…,an-1).

定义2 若T∈Cn×n有如下形式

称T为基本轮换矩阵.

引理1[7]设f(x),g(x)∈F[x]，则f(x)与g(x)互素的充分必要条件是存在u(x),v(x)∈F[x]使得

u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.

引理2[8]多项式f(x)无重因式当且仅当(f(x)，f′(x))=1.

引理3[9]若方阵A的特征值是λ，则矩阵多项式φ(A)的特征值是φ(λ).

引理4设f1(x),f2(x),g(x)∈F[x]，若(f1(x),g(x))=1，(f2(x),g(x))=1，则(f1(x)f2(x),g(x))=1.

证明因为(f1(x),g(x))=1，(f2(x),g(x))=1，由引理1可知存在ui(x),vi(x)∈F[x],(i=1,2)，使得

u1(x)f1(x)+v1(x)g(x)=1，

(1)

u2(x)f2(x)+v2(x)g(x)=1.

(2)

(1)，(2)两式相乘得

(u1(x)u2(x))f1(x)f2(x)+(u1(x)v2(x)f1(x)+v1(x)u2(x)f2(x)+v2(x)v2(x)g(x))g(x)=1，

所以(f1(x)f2(x),g(x))=1.

2 轮换矩阵的性质及其拓广

性质1 若A,B是轮换矩阵，则AT和λ1A+λ2B也是轮换矩阵.

证明由定义1知，显然.

性质2 基本轮换矩阵T是可逆的，其特征值是n个互不……