郑 明 亮

(无锡太湖学院 机电学院, 江苏 无锡 214064)

现代数学和物理力学的一个交叉部分是动力学系统的对称性与守恒量. 当力学系统Lagrange函数的Hess矩阵不满秩时称为奇异系统, 它在相空间中用Hamilton形式表述, 被称为约束Hamilton系统[1]. 在数学物理和工程技术等领域, 许多重要的动力学问题均符合约束Hamilton系统模型, 如电磁场、 光的横移现象、 量子电动力学行为和超弦理论等. 约束Hamilton系统对称性理论和守恒量的相关研究已取得较多成果. Dirac[2]首先提出了约束Hamilton系统的量子化问题； Li等[3]研究了经典水平下奇异系统的Noether对称性与守恒量； Mei等[4]研究了奇异Lagrange系统Lie对称性与守恒量； 张毅等[5]研究了奇异Hamilton系统Lie对称性与守恒量; 罗绍凯[6]研究了奇异Hamilton系统的Mei对称性与守恒量, 并比较了Mei对称性、 Noether对称性和Lie对称性的差异. 但目前奇异系统理论的研究大多以连续时间为基础, 即导数仍然是经典导数的意义, 但在一般动力学系统中, 时间尺度[7-8]的微积分性质更具广泛性, 它可将连续和离散统一, 揭示连续和离散的异同点, 并能更清晰、 更准确地刻画连续与离散系统以及其他复杂动力学系统的物理本质.

目前, 关于时间尺度上动力学系统的对称性与守恒量的研究大多数针对非奇异系统, 文献[9-11]研究了时间尺度上的变分、 Lagrange系统的Noether理论和Hamilton系统动力学对称性； 文献[12-16]研究了时间尺度上约束力学系统的理论框架. 由于奇异系统自身的内在约束, 因此其时间尺度上的变分问题、 对称性和守恒量……