王 晗, 李辉来, 李文轩

(吉林大学 数学学院, 长春 130012)

麻疹病毒传染性极强, 是一种常见的带有潜伏期的呼吸道疾病[1], 而且并非所有接种麻疹疫苗的个体均可获得特异性免疫力[2]. 个体接种麻疹疫苗后未能发生血清转化的情况称为原发性免疫失败[3-4], 继发性免疫失败是指个体接种麻疹疫苗后产生特异性抗体, 但抗体水平含量会随接种时间的增加而降低, 从而失去保护作用[5-8], 原发性免疫失败和继发性免疫失败都属于疫苗免疫失败现象. 目前, 已有研究表明存在继发性免疫失败的案例[9-17], 在继发性免疫失败后感染麻疹病毒的患者具有一定的传染性, 并表现出较轻的临床症状[18]. 基于此, 本文建立一类基于接种疫苗引发的继发性免疫失败的麻疹模型, 并分析该模型的动力学行为. 本文讨论的模型可用于刻画麻疹病毒在不同免疫状态群体中的传播过程, 考察接种疫苗后产生特异性抗体但抗体水平低于保护阈值的群体对病毒传播的影响, 并给出合理的抗疫措施, 对麻疹疫情防控有一定的作用.

1 模型构建

假设每个个体均可通过接种麻疹疫苗获得免疫力, 即接种疫苗一定会发生免疫反应： 个体可能发生疫苗免疫失败, 也可能获得永久免疫力. 在该假设条件下, 将总人口分为6个仓室, 其中M(t)表示在t时刻未达到初免年龄的婴儿数量,S(t)表示在t时刻达到初免年龄且未接种过疫苗的易感者数量,V(t)表示在t时刻达到初免年龄且可能发生疫苗免疫失败的个体数量, 仓室V中个体体内平均抗体水平高于仓室S中个体体内平均抗体水平含量,E(t)表示在t时刻处于潜伏期的患者人数,I(t)表示在t时刻具有传染性的患者人数,R(t)表示在t时刻移出的人数(包括因接种疫苗获得永久免疫力的人群, 因患病获得永久免疫力的人群, 患病后隔离的人群等).因此在t时刻, 总人口数量为

N(t)=M(t)+S(t)+V(t)+E(t)+I(t)+R(t).

本文假设Λ表示仓室M的常数输入率, 随着年龄增长, 仓室M中个体达到初免年龄的比例为θ1, 其中达到初免年龄个体不接种疫苗的比例为a1, 达到初免年龄个体接种疫苗并发生继发性免疫失败的比例为a2, 疫苗接种者获得永久免疫力的比例为1-a1-a2; 仓室V中个体通过再次接种疫苗进入仓室R中的比例为θ2;β1,β2,β3分别为仓室M,S,V中的个体与具有传染性的感染者I的传染系数; 仓室E中的感染者从潜伏期进入传染期的转移率为σ; 仓室I中具有传染性的感染者移出率为γ;ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5,ξ6分别表示各仓室的死亡率, 易知ξi(i=1,2,…,6)是正常数.

基于传染病的传播过程和上述假设条件, 本文构建如下常微分方程系统:

(1)

模型(1)的麻疹病毒传播过程如图1所示.

图1 模型(1)的麻疹病毒传播过程Fig.1 Transmission process of measles virus in model (1)

由图1和系统(1)可知, 移出人群R未参与麻疹病毒的传播过程, 所以可考虑如下常微分方程组:

(2)

由M′≤Λ-(θ1+ξ1)M, 易得

假设ξ*=min{ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5}, 将系统(2)各方程相加可得

经简单计算得

因此, 系统(2)的ω极限集为如下有界区域:

(3)

易知, 集合Γ关于系统(2)是正不变的.

2 平衡点

系统(2)在可行域Γ中有无病平衡点P0=(M0,S0,V0,0,0), 且P0满足如下方程组:

本次调查发现，在影响求职的因素中，81%的学生认为实践经验最重要，56%的认为家庭社会关系最重要，其他分别为较好的心理素质、各级各项获奖、等级证书，学习成绩由第一位下降为第六位。建议学校对毕业生进行求职培训，让学生了解用人单位的选聘要求，学会成功推销自己。

因此可得无病平衡点为

(4)

从而可得传染病平衡点为

3 基本再生数

基本再生数R0是在传染病建模中最重要的参数, 其描述一个具传染性的患者在平均感染期内将病毒传染给易感者的平均人数.如果R0<1, 则传染病会灭亡; 如果R0>1, 则传染病仍会发生.

根据文献[19]可得

系统(2)的基本再生数R0定义为下一代矩阵FU-1的谱半径, 记为R0=ρ(FU-1), 其中ρ(M)表示矩阵M的谱半径.经简单计算可得

4 全局稳定性

下面证明R0是系统(2)的一个阈值参数: 当R0≤1 时, 无病平衡点P0是全局渐近稳定的, 麻疹疫情最终会消亡; 当R0>1时, 无病平衡点P0是不稳定的, 传染病平衡点P*是全局渐近稳定的, 且麻疹会持续存在.

4.1 无病平衡点的全局稳定性

定理11) 如果R0≤1, 则无病平衡点P0是系统(2)中唯一的平衡点, 并在Γ中全局渐近稳定;

证明： 1) 考虑如下Lyapunov函数:

L(E,I)=σE+(σ+d)I,

则L沿系统(2)解轨线的全导数为

4.2 传染病平衡点的全局稳定性

证明： 考虑如下Lyapunov函数:

因为

φ(r)=r-r*-r*lnr+r*lnr*≥0,

当且仅当r=r*时,φ(r)=0, 所以Q(M,S,V,E,I)是正定的, 于是Q沿方程(2)解轨线的全导数为

将式(6)代入式(4), 整理可得

已知函数Φ(s)=1-s+lns在定义域上为非负函数, 则当且仅当M=M*,S=S*,V=V*,E=E*,I=I*时,因此集合中唯一的紧不变子集是单点集{P*}.根据LaSalle不变性原理[16]知, 当R0>1时,P*在中是全局渐近稳定的.证毕.

综上所述, 可得如下结论： 当基本再生数R0≤1时, 无病平衡点是全局渐近稳定的, 即疾病将会消亡, 表明疫苗接种可有效控制传染病的传播, 进而彻底消灭疾病； 当基本再生数R0>1时, 传染病平衡点是全局渐近稳定的， 表明个体抗体水平会随着接种疫苗时间的增加而下降， 发生继发性免疫失败现象， 这种情况可导致传染病持续地流行.