赖礼泉

(福建省闽东南地质大队，福建 泉州 362000)

矿区地表变形监测在施工过程中至关重要，通常为持续性地对地表进行观测，并通过建立数学预测模型对地表形变趋势预测，从而科学施工，避免事故[1-5]。但在实际变形监测过程中，通常会出现观测数据缺失的问题，主要是由于观测点处于裂缝或塌陷区、被积水淹没、遭到人为破坏[6]。当变形监测数据出现缺失时通常利用填补法进行弥补，即利用某种原则构造填补值代替缺失数据，补全数据序列[7]。常用的数据填补方法为回归分析法，计算过程简单，但由于选用的影响因子具有不可测性，导致回归分析法受到限制。本文引入最大期望算法(Expectation Maximization Model,EM)，通过观测数据的边际分布对缺失数据进行几大似然估计，当E步和M步的迭代之间参数变化小于给定阈值时得到缺失数据填补值。

1 模型的建立

1.1 回归分析模型的建立

假设有一组已知的观测数据x1,x2,…,xk，已知观测数据不同的观测期数记为xk1,xk2,…,xki，由此构建的回归模型为：

yi=β0+β1x1i+β2x2i+…+βkxki+εi

(1)

式中，yi为y第i次的观测值；β0，β1，…，βk为未知回归参数；εi为随机误差，εi～N(0,σ2)，且协方差σεi·εi-τ=0(τ≠0)。

所以误差方程为：

vi=β0+β1x1i+β2x2i+…+βkxki-yi

(2)

化为矩阵形式为：

V=Aβ-Y

(3)

式中，V=(v1,v2,…,vn)T；β=(β0,β1,…,βn)T；Y=(y1,y2,…,yn)T；

从而得到参数的最小二乘解为：

(4)

解得回归方程为：

(5)

进行岩移观测，当出现数据缺失时，通过上述过程利用缺失数据附近的点建立回归模型，最终可以得到缺失数据的近似值。

1.2 最大期望算法的建立

最大期望算法是由Dempster提出的，是利用不完全数据求取几大似然估计的算法[8-13]。假设x(i)为不完全观测数据，z(i)为数据的缺失部分，x(i)与z(i)共同构成完整的数据序列，设未知参数θ=[u,σ]T，其中，u表示z(i)的均值，σ表示z(i)的方差，两者均未知。……