范云鹏 樊雪双

摘 要：在高等数学的学习当中，不定积分的计算是非常重要的内容。但是好多初学者见到不定积分的题，没有思路，遇到不知道用哪一个积分方法，本文把不定积分的求法做一个总结，希望对初学者有一定帮助。

关键词：凑微分;分部积分

在高等数学的学习当中，导数和不定积分是非常重要的内容。相对于导数而言不定积分的计算难度更大一些，方法更灵活一些。原因在于不定积分的方法很多，而且有的题目需要将各种方法结合使用，因此有一定的难度。

1 直接积分法

一些简单的不定积分题目，被积函数是基本初等函数，或者可以经过化简成基本初等函数，结合不定积分的性质和基本积分公式，可以求出它们的不定积分。

例1：求不定积分（x2-1x-1-cosx+11+x2）dx。

解：被积函数含有-cosx和11+x2，可以直接积出来，x2-1x-1化简成x+1后也可以直接用基本积分公式。原式=（x+1-cosx+11+x2）dx=x22+x-sinx+arctanx+C。

例2：求不定积分x41+x2dx。

解：不能直接用公式，但是可以先化简一下，x41+x2=x4-1+11+x2=x2-1+11+x2，原式=x41+x2dx=x4-1+11+x2dx=（x2-1+11+x2）dx=x33-x+arctanx+C。

从上面两个例题可以看出，利用基本积分公式和性质可以求一些简单函数的积分，对于比较复杂的函数比如复合函数我们就需要掌握一些积分的方法。

2 第一換元积分法（凑微分法）

定理1：若f（u）=F（u）+C，u=φ（x）具有连续导数，则f[φ（x）]dφ（x）=F[φ（x）]+C。

此公式称为第一换元积分公式，利用第一换元积分公式称为第一换元积分法。此种方法关键是要凑出φ（x），因此也称为“凑微分法”。

例3：求不定积分e3xdx。

解：基本公式exdx=ex+C，但e3xdx=e3x+C，答案是错的，因为（e3x）′=3e3xe3xdx=13e3x（3x）′dx=13e3xd3x令3x=u13eudu=13eu+C把u=3x带回13e3x+C。

例4：求不定积分cotxdx。

解：无法直接套用基本公式，在……