曾光

函数的奇偶性是高中数学的重要内容，也是高考热点问题之一. 考查方式可以是小题，也可以综合其它内容在大题里出现. 奇偶性是考查学生综合素养的重要载体，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养. 本文将从新高考的角度对奇偶性题型进行解法分析及归类总结.

一、试题呈现与分析

【2021新高考全国？玉卷13】已知函数 f（x）=x3（a·2x-2-x）是偶函数，则a=        .

【分析】本题主要考查偶函数的定义：f（-x）=-f（x）. 或者利用函数奇偶性的运算规律也可以解决：奇函数×奇函数=偶函数.

【详解】方法一（定义）：因为f（x）=x3（a·2x-2-x），f（-x）=-x3（a·2-x-2x），故x3（a·2x-2-x）=-x3（a·2-x-2x），整理得（a-1）（2x+2-x）=0，解得a=1.

方法二（运算规律）：易知y=x3为奇函数，由于f（x）=x3（a·2x-2-x）是偶函数，因此y=a·2x-2-x也为奇函数，不妨设g（x）=a·2x-2-x，则g（-x）=a·2-x-2x，故有g（-x）=-g（x），-（a·2-x-2x）=a·2x-2-x，整理得（a-1）（2x+2-x）=0，解得a=1.

【小结】1. 奇函数性质：f（-x）=-f（x），偶函数性质：f（-x）=f（x），以上性質是解决奇偶性问题的根本，要重视.

2. 奇偶性运算规律：奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数.

二、高考奇偶性题型归类

类型一：考查奇偶性定义

例题1. 函数f（x）=（x+a）（x-4）为偶函数，则实数a=

【解析】本题可以用偶函数的定义去解决. 同时本题涉及的函数为二次函数，同学们对它的图象较为熟悉，因此也可以用图像法.

方法一（定义）：因为函数f（x）=（x+a）（x-4）为偶函数，所以满足f（-x）=f（x），由f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，f（-x）=x2-（a-4）x-4a，得x2-（a-4）x-4a=x2+（a-4）x-4a，即a-4=0，得到a=4.

方法二（图像法）：f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，由二次函数知识可知图像为抛物线，对称轴为x=- ，要使二次函数为偶函数，则对称轴应为y轴，即x=- =0，这时得a-4=0，得到a=4.

【小结】若题目涉及的函数较为熟悉，如一次函数、二次函数、指数函数等，可以考虑用图像法，运算量较少. 而对于一般的函数，则运用奇偶性的定义，因此定义法的应用范围较广.

类型二：奇偶性与不等式

例题2.（2020新高考全国？玉卷8）. 若定义在R的奇函数f（x）在（-∞，0）单调递减，且f（2）=0，则满足xf（x-1）≥0的x的取值范围是（    ）

A.[-1，1]∪[3，+∞）       B.[-3，-1]∪[0，1]

C.[-1，0]∪[1，+∞）      D.[-1，0]∪[1，3]

【分析】因为f（x）在（-∞，0）在单调递减，由奇函数图像的对称性可知f（x）在（0，+∞）也单调递减. 又因为f（2）=0，由奇函数图像的对称性可知f（-2）=0. 然后对x进行分类讨论便可得到xf（x-1）≥0的解集.

【详解】因为定义在R上的奇函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，且f（2）=0，所以f（x）在（0，+∞）上也是单调递减，且f（-2）=0. 如图所示，结合图像易得：当x∈（-∞，-2）∪（0，2）时，f（x）>0，当x∈（-2，0）∪（2，+∞）时，f（x）<0，且f（0）=0.

所以由xf（x-1）≥0可得：x<0，-2≤x-1≤0或x>0，0≤x-1≤2或x=0，

解得-1≤x≤0或1≤x≤3，

所以满足xf（x-1）≥0的x的取值范围是[-1，0]∪[1，3].

【小结】1. 奇偶性问题与不等式结合起来，则常常采用数形结合的方法去解决，形如xf（x）≥0，把坐标系分成四个象限去考虑，即坐标（x，f（x））的横坐标和纵坐标的正负. 同时要熟悉奇偶函数图像的对称性特点，奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称.

2. 如果奇函数的定义域包含0的话，必有f（0）=0.

类型三：奇偶性与周期性

例题3（2021全国高考甲卷理12）. 设f（x）函数的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）=ax2+b. 若f（0）+f（3）=6，则f（ ）=（    ）

A. -   B. -   C.    D.

【分析】通过f（x+1）是奇函数和f（x+2）是偶函数这两个条件，可以确定出函数解析式f（x）=2x2+2，进而利用条件推出周期性结论，即可得到答案.

【详解】因为f（x+1）为奇函数，设g（x）=f（x+1），则g（x）为奇函数，由奇函数定义得g（-x）=-g（x），即f（-x+1）=-f（x+1）…… ①

同理，f（x+2）为偶函数，则有f（x+2）=f（-x+2）……②

令x=1，由①得：f（0）=-f（2）=-（4a+b），由②得：f（3）=-f（1）=a+b，

因为g（x）为奇函数，故g（0）=0，得a+b=0，

又由f（0）+f（3）=6得，-（4a+b）+0=6，由以上兩式解得a=-2，b=2.

通过两个对称性可推得，函数f（x）的周期T=4. 具体过程如下：

因为f（-x+1）=-f（x+1），令x=x-1， 代入得f（-（-x+1）+1）=-f（x-1+1），整理得f（-x+2）=-f（x）.

又因为f（x+2）=f（-x+2），故得f（x+2）=-f（x）……③

令x=x+2，代入③f（x+4）=-f（x+2）得……④

由③④得f（x+4）=f（x），故f（x）的周期T=4.

f（ ）=f（ +4）=f（ ）=f（- +1）=f（ +1）=-f（ ）=-（-2×（ ）2+2）= .

【小结】1. 本题为奇偶性与周期性综合问题，难度较大，需要先掌握周期的推理能力.

2. 本题的逻辑推理过程较多，需要有清晰的思路. 要求熟练掌握待定系数法.

变式1（2021全国高考甲卷文12）. 设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）=f（-x）. 若f（- ）= ，则f（ ）=（    ）

A. -  B. -  C.   D.

【分析】本题与上题考查的内容基本一致，都是奇偶性与周期性结合的问题，但本题没有涉及待定系数，难度较小. 通过f（x）是奇函数和性质f（1+x）=f（-x）可以推出周期性，进而得到答案.

【详解】因为f（x）为奇函数，则有f（-x）=-f（x），又已知f（1+x）=f（-x），因此得f（1+x）=f（x）……①，

令x=x+1，代入①得：f（1+x+1）=-f（x+1），化简得：f（2+x）=-f（x+1）……②，

由①②得f（2+x）=-f（x+1）=f（x），即f（2+x）=f（x），所以有周期T=2. 故有f（ ）=f（- +2）=f（- ）= ，因此选C.

【小结】对于奇偶性与周期性综合问题，需要先掌握周期的推理过程.

类型四：奇偶性与函数图像

例题4（2021全国高考乙卷理4）. 设函数f（x）= ，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A. f（x-1）-1 B. f（x-1）+1 C. f（x+1）-1 D. f（x+1）+1

【分析】通过四个选项求出对应的表达式，再通过奇函数的定义验证可得出答案. 另外还可以对f（x）= 进行变形，然后平移也可得到答案.

【详解】方法一：对于A，f（x-1）-1= -2不是奇函数;对于B，f（x-1）+1= 是奇函数;对于C，f（x+1）-1= -2，定义域不关于原点对称，不是奇函数;对于D，f（x+1）+1= ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

方法二：由题意可得f（x）= ，变形得：f（x）= = = - = -1.

即f（x）= -1，接下来对f（x）的图像（图2）进行平移，先把图像往上平移一个单位得到f（x）+1= -1+1= ，如图3. 再把图像往右移一个单位得到f（x-1）+1= = ，如图4，易知y= 为奇函数. 因此选B.

【小结】1. 对于奇偶性的定义要熟练掌握：1. 定义域关于原点对称. 2. 奇函数有f（-x）=-f（x），偶函数有f（-x）=f（x）.

2. 本题可以逆回来画图像：y= → → -1.

类型五：局部奇偶性函数问题

例题5. 已知函数f（x）（x∈R）是奇函数，g（x）=3f（x）+2. ，若g（-9）=-2. 则 g（9）=        .

【分析】f（x）是奇函数，但g（x）既不是奇函数也不是偶函数，看似与奇函数问题无关. 然而g（x）的表达式的主要部分为3f（x），明显是一个奇函数，即g（x）整体不具有奇偶性，局部有奇偶性，这类问题称为局部奇偶性问题. 对于局部奇函数的问题，可以利用f（-x）= -f（x）解决问题.

【详解】因为f（x）是奇函数，故有f（-x）=-f（x），g（-9）=3f（-9）+2=-2.

得f（-9）=- ，即-f（9）=- ，所以有f（9）= .

因此有g（9）=3f（9）+2=3× +2=6.

【答案】6.

【小结】解决局部奇偶性问题，关键在于认清函数表达式的结构，才能对症下药：如3f（x）+2，3f（x）为奇函数，2为偶函数（常数函数为偶函数），奇偶数+偶函数可以用本题的方法解决.

对于奇偶性常见问题归结为以上五种类型，对于解决这五种类型的规律总结如下：

1. 如果奇函数的定义域包含0的话，必有f（0）=0.

2. 奇偶性运算规律：奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数.

3. 奇偶性问题与不等式结合起来，则常常采用数形结合的方法去解决，因此要熟悉奇偶函数图像的对称性特点，奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称.

4. 对于奇偶性与周期性综合问题，需要先掌握周期的推理过程，得到f（x+T）=f（x），周期则为T.

5. 对于函数奇偶性的问题，若是常见函数的话，一般情况下用图象法会比较直观快速地解决.

6. 对于局部奇偶性的问题，往往是用不了图像法的，需要用定义：f（-x）=-f（x）.

同学们可以通过分类练习，梳理解题思路，进一步加深对函数奇偶性问题的理解，从而提升新高考试题的解题能力！

责任编辑 徐国坚