曾光

函数的奇偶性是高中数学的重要内容，也是高考热点问题之一. 考查方式可以是小题，也可以综合其它内容在大题里出现. 奇偶性是考查学生综合素养的重要载体，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养. 本文将从新高考的角度对奇偶性题型进行解法分析及归类总结.

一、试题呈现与分析

【2021新高考全国？玉卷13】已知函数 f（x）=x3（a·2x-2-x）是偶函数，则a=        .

【分析】本题主要考查偶函数的定义：f（-x）=-f（x）. 或者利用函数奇偶性的运算规律也可以解决：奇函数×奇函数=偶函数.

【详解】方法一（定义）：因为f（x）=x3（a·2x-2-x），f（-x）=-x3（a·2-x-2x），故x3（a·2x-2-x）=-x3（a·2-x-2x），整理得（a-1）（2x+2-x）=0，解得a=1.

方法二（运算规律）：易知y=x3为奇函数，由于f（x）=x3（a·2x-2-x）是偶函数，因此y=a·2x-2-x也为奇函数，不妨设g（x）=a·2x-2-x，则g（-x）=a·2-x-2x，故有g（-x）=-g（x），-（a·2-x-2x）=a·2x-2-x，整理得（a-1）（2x+2-x）=0，解得a=1.

【小结】1. 奇函数性质：f（-x）=-f（x），偶函数性质：f（-x）=f（x），以上性質是解决奇偶性问题的根本，要重视.

2. 奇偶性运算规律：奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数.

二、高考奇偶性题型归类

类型一：考查奇偶性定义

例题1. 函数f（x）=（x+a）（x-4）为偶函数，则实数a=

【解析】本题可以用偶函数的定义去解决. 同时本题涉及的函数为二次函数，同学们对它的图象较为熟悉，因此也可以用图像法.

方法一（定义）：因为函数f（x）=（x+a）（x-4）为偶函数，所以满足f（-x）=f（x），由f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，f（-x）=x2-（a-4）x-4a，得x2-（a-4）x-4a=x2+（a-4）x-4a，即a-4=0，得到a=4.

方法二（图像法）：f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，由二次函数知识可知图像为抛物线，对称轴为x=- ，要使二次函数为偶函数，则对称轴应为y轴，即x=- =0，这时得a-4=0，得到a=4.

【小结】若题目涉及的函数较为熟悉，如一次函数、二次函数、指数函数等，可以考虑用图像法，运算量较少. 而对于一般的函数，则运用奇偶性的定义，因此定义法的应用范围较广.