王奕闰 张艳维

（西安交通工程学院 公共课部，陕西 西安 710300）

引言

多元函数z=f(x1,x2,…,xn)在m个 附 加 条 件 下ϕk(x1,x2,x3,…,xk)=0，（k= 1,2,3,…,m，m

多元函数条件极值是微分学的重要应用。在实际生活生产及经济管理中使用广泛。我们常遇到的最优化问题，比如圆内接矩形的最大面积；光线行进的最快路径；企业产品的最小投入、最高效益及最低亏损；市场商户的最低运营成本、最大利润等，都是通过建立（目标函数的）数学模型，求条件极值寻找目标函数最优化。

条件极值问题求解复杂，学生对极值是否存在不易理解；难以区分不同解法的适用差异；求解运算过程繁琐；对区分判定在可能的极值点取何种极值的方法，疑惑重重，诸如此类的问题困扰学生。

本文针对条件极值的三种常用解法：代入消元法，几何图形法，拉格朗日乘数法，加以分析探讨及示例，帮助学生消除疑虑，理清解题思路，选择适合解法，提升数学应用能力，树立数学学习信心，有切实意义。

一、条件极值的三种常用解法

（一）代入消元法

从约束方程中选择要消去的变量，代入目标函数消元，将条件极值转化为无条件极值，这种方法称作代入消元法。它是求解多元函数条件极值最常用的方法。

例如，求目标函数z=f(x,y)在约束方程ϕ(x,y)=0的条件极值，从ϕ(x,y)=0解出变量x=x(y)或y=y(x)，代入z=f(x,y)，把条件极值转化为无条件极值。

（二）几何图形法

运用多元函数的几何图形（几何含义）求解目标函数的条件极值称作几何图形法。

由于高等数学中学生所学的空间解析几何知识有限，所以几何图形法求条件极值，较多涉及那些常用多元函数的条件极值，比如空间平面、空间直线等，形象直观，运算简单，学生易于接受。……