朱迪

平行线是最简单、最基本的几何图形之一，利用平行线可以得到角之间的相等或互补的关系，帮助我们解答一些求角度的问题.折线问题是两条平行线不是被第三条直线所截，而是被一条折线所截，此时平行线的性质定理就不能直接应用了.那么如何解决这类折现问题呢？以下分类进行探讨.

一、“外凸型”折线问题

“外凸型”折线问题是指两条平行线之间被向外凸出的折线所截，并有一个或多个折点.解答这类“外凸型”折線问题的一般方法是过折点作已知平行线的平行线，通过形成的多组平行线建立角与角之间的联系，进而把线的关系转换成角的关系，然后利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质解答.

基本题型

例1  如图1，已知AB∥CD，∠A=120°，∠C=130°，那么∠APC的度数是（ ）.

A.100° B.110° C.120° D.130°

解析：过P作直线MN∥AB，如图2所示，

∵MN∥AB，

∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补），

∴∠1=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，

∵MN∥AB，AB∥CD，

∴MN∥CD，

∴∠C+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），

∴∠2=180°﹣∠C=180°﹣130°=50°，

∴∠APC=∠1+∠2=60°+50°=110°，

故选：B.

点评：本题考查了平行线的性质，解题的关键是作出平行线，根据平行线的性质找出图中角度之间的关系.

结论1：如图1，在平行线中“外凸型”折线问题中，中间角加两个边角等于360度，即∠A+∠P+∠C=360°.

拓展题型

例2  细观察，找规律.下列图3①-3④中的MA1与NAn平行.

（1）图①中的∠A1+∠A2=   度，

图②中的∠A1+∠A2+∠A3=   度，

图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=   度，

图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=   度，…，

（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=       .

（3）依图3②为例，写出证明过程.

分析：（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到结论;（2）根据（1）中的规律，即可得到第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An的度数;（3）先过A2作A2B∥A1M，根据A2B∥A1M∥A3N，可得∠A1+∠1=180°，∠A3+∠2=180°，进而得出∠A1+∠A1A2A3+∠A3=360°.

解：（1）根据平行线的性质，可得图①中的∠A1+∠A2=180度，根据平行线的性质，可得图②中的∠A1+∠A2+∠A3=360度，

根……