2020年全国数学中考“隐圆”问题探究

2021-09-10梁志坚

科教创新与实践 2021年14期

梁志坚

一、问题的提出

圆是初中数学“图形与几何”模块中最重要的内容之一. 纵观近年来全国各省市中考试题，圆的考查形式往往有两种：一种是题干中给出圆，以圆为背景命制试题;另一种是题设中没有圆，但在解题过程中，需要构造圆，利用圆的相关知识来解决问题. 我们称第二种为“隐圆”问题。

二、问题的研究

（一）“隐圆”问题类型

类型一. 四点共圆型

初中阶段常见的四点共圆模型有：

1.根据定义：到定点距离等于定长的点共圆（如图1）;

2.共斜边的两个直角三角形的顶点共圆（如图2）;

3.对角互补的四边形顶点共圆（如图3）;

4.同一线段同侧所对角相等，角的顶点与线段两个端点共圆（如图4）。

类型二. 路径（轨迹）为圆（弧）型

动点问题是全国数学中考命题的热点，其命题形式大致分为两类：

1. 任务型动点：由双动点与图中的一至二个定点组成的图形，满足条件：（1）构造成特殊三角形或四边形;（2）与图中已有三角形全等或相似;（3）图形的周长或面积成一定比例关系或是获取最值;（4）构成一定度数的角;

2. 图形在进行平移、轴对称、旋转这三种基本几何变换过程中，图形中某一特殊点（常为中点）的路径问题，或是与这一点相关的第一类问题. 而这一特殊点的路径，通常有两种情况：一是直线型（线段），二是圆（弧）型。

（二）“隐圆”问题解题方法研究

2020年全国数学中考与“隐圆”有关的试题，考查的核心数学思想是转化，考查的热点问题是求最值. 最值问题又分为二类：一是求线段长的最值;二是求三角形面积的最值.鉴于四点共圆问题前面已有较为详细的论述，所以本环节侧重阐述最值问题、倍角（半角）问题、定角对定弦问题。

1. 最值问题：

圆中最值问题，有个最核心的“元”模型——“一箭穿心”，如图9：

“寻模型——现隐圆——明路径——解最值”，是这类问题的解题思路与过程. 另外，特别强调的是，在圆中取弦的中点，与圆心构造成三角形的中位线，是非常重要的一种作辅助线的方法，这种方法在高中立体几何中证明线、面平行，也经常用到。

2. 倍角与半角问题

在一些二次函数综合题中，会出现“不定角”问题. “不定”，是指角的位置不明确，解题时，有时需要通过构造圆，利用圆周角的性质，来进行角的转化。

根据倍角或半角关系，构造“隐圆”，是中考“隐圆”问题中难度最大的一类，需要教师在平常教学中，尤其是数学尖子生培训过程中，经常渗透这种转化的思想与方法。

3. 定角对定弦问题

“定角对定弦”问题有显性且确定的模型，其本质如下：

（1）若△ABC的边AB确定，∠C的大小确定，则点C为△ABC外接圆上（不与A、B重合）一动点，△ABC的形状并不确定，如下圖：

（2）“定角对定弦问题”，通常是求路径长，当我们明白（1）中的实质之后，就很容易辨识问题的本质并快速找到解决方法：先确定△ABC外接圆，再求半径，最后求路径长（弧长）。

（三）“隐圆”问题教学导向

中考试题是教学的导向标. “隐圆”问题对初中数学教学有何教学导向呢？

1.教学要围绕核心素养，培养学生思维能力

真正的学科素养，不应只是一些文本的知识，应是内化为学生意识中的一种涵养与关键能力. “隐圆”问题，是学生较深入掌握圆的知识后，对相关知识与方法灵活运用的一种综合性考查，教师在初三数学教学中，应重视这类问题的教学研究，培养学生的思维能力。

2.辩证的看待“问题模型”

近几年，关于数学问题的模型，各类杂志、自媒体、网络平台均有较大力度的宣讲，有些甚至归纳出上百个模型. 目前，在全国较大的一些数学教师研究群里，对问题模型教学也有较大的争议，不少教育专家反对过多的模型教学，认为这样会拘束学生的思维发展。笔者认为，问题模型教学契合数学核心素养中的“建模思想”，对学生较快掌握某一模块或专题有较大的促进作用，但要注意两点：一是不能过多，否则学生会淹没在模型中迷失方向;二是不能死记模型，必须让学生真正明白模型的来源、原理. 下面以“隐圆”最值问题的“元”模型为例，阐述模型如何讲透数学道理。

PA为什么最短？PB为什么最长？教师可以向学生讲清楚这个道理：

如图10，点C为⊙O上任意一点（不与点A重合），在△POC中，OC+CP>OP，即OC+CP>OA+AP，因为OA=OC，所以CP>AP. 同样可证明PB>PC。

3.加强单元复习中的专题教学，重视内容设计的“生长性”

复习不是知识、方法的简单重复，而是自主建构、不断知新、不断生长的过程。专题复习聚焦核心内容、核心思想方法，它应具有以下三个特征：

（1）生长性. 所谓生长性，由元问题出发，基于基础与经验，在解决问题过程中不断产生新问题，不断生长新的数学知识、方法、思维、经验。

（2）结构性.专题复习主要关注知识在不同领域的内在联结，或通过知识联结载体，或通过某一思想方法联结载体。

（3）层次性.专题复习主题明显，思维要求较高，目标定位不清晰会导致“专、深、难”，中等生与学困生不能接受. 因此在内容设计时，要体现高立意、低起点，关注不同层次学生的发展，从而激活思维动力，增长思维活力。

参考文献：

[1]杨军.巧用点线命题凸显素养考查[J].中学数学参考，2019.4中.54-56.

[2]姜晓翔.初中数学命题方法之延续策略[J].中国数学教育，2019.6.39-41.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社.

[4]戴娟.微专题在中考数学第二轮复习中的实践与思考[J].中学数学月刊（苏州），2018.11.23-25.