李国左

摘要：除法是我们小学数学学习中必可少的运算之一，而小学数学的“有余数除法”是除法中最特别的存在，“有余数除法”具有非常强的隐蔽性，但是对学生去解决数学经典问题又是极其的重要。

关键词：有余数除法 格子游戏 抽屉原理 中国剩余定理

缘起：听了学校数学邱老师上了一节四年级《划格子游戏》的课和自己上了一节六年级《抽屉原理》的课后，引发一些思考：这两节课最后都有用到“有余数除法”，而且采用“有余数除法”去解决这类数学问题，会使题目变得更加简单、易懂。这个起因促使本人去后思考：“有余数除法”在解决小学数学问题中有何作用？下面本人将从以下四点来论述：

一、什么是“有余数除法”

除法是我们小学数学学习中必可少的运算之一，小学数学的“有余数除法”是除法中最特别的存在，“有余数除法”具有非常强的隐蔽性，但是对学生去解决数学经典问题是极其重要的，我们把一个整数除以另一个不为0的整数，得到整数的商以后还有余数，这样的除法叫做“有余数除法”。 余数要比除数小。如：19÷3 = 6……1“有余数除法”各部分间的关系是： 被除数÷除数=商+余数 如：19÷3 = 6……1。

二、用“有余数除法”解决一般数学问题，

现在人教版的教材把“有余数除法”安排在二年级表内除法之后学习，这是有道理的，因为“有余数除法”是表内除法知识的延伸和拓展，在教材内容的安排上，注重结合具体的情境，将“有余数除法”的意义内容置于实际生活的背景之下，“有余数除法”也是以表内除法知识作为基础来进行学习的。

除数是一位数的“有余数除法”，是学生在小学当中第一次去接触到，在表内除法基础上，学习“有余数除法”， 它可以解决各类数学问题。

例1：学校有51本数学趣味书，每个班借6本，可以借给几个班？还剩几本？

51÷6=8（个）……4（本）

除数是两位数的“有余数除法”，是小学四年级数学上册的内容，进步解决生活当中的数学问题，以上这些数学问题，学生是可以预见的，懂得运用“有余数除法”去解决。

例2：农民伯伯要356运吨粮食，一辆卡车每次可以运15吨，至少要多少辆卡车才能一次把这些粮食全部运完？

356÷15=23（次）......11（吨）

23+1=24（次）

三、“有余除法”在数学经典问题中的妙用

1.经典问题1——划格子游戏

在人教版《数学四年级上册》，第八单元数学广角——优化中，有一个格子游戏的数学问题，我们表面上看是优化策略的问题之一，但是如果我们深入去探讨其中的数学奥秘，就可以发现这个划格子游戏，它的最优化的解决策略就是利用“有余数除法”去解题。

例：纸上有20个格子，甲乙两人轮流划格子，每次可划的格子数为1个或2个。谁最后把格子全划完了，谁就是游戏的胜利者。若甲先划，他应采用什么策略？

解决这个划格子问题，有多种数学方法：

（一）、逆推法

20-3-3-3-3-3-3=2（个）

甲必须在第一次划走多余的2格子，接下来甲每个回合和乙划的格子数和为3，他就必胜。

（二）、归纳法：

①当格子有1-2个，甲先划，甲可以一次划完，甲胜。

②当格子有3个时，则甲不能一次划完，乙胜。

③当格子有4～6个时，甲先取后总可以给乙剩3格子，甲胜。

………

（三）、有余数除法

总数是20格子，甲先划走20÷3=6（组）…2（个）的余数2个，再用配对法和乙一起划格子，甲必胜。我们可以知道划格子游戏甲制胜策略的两个可能：

总数÷（所格子最大数与最小数的和）=商+余数（有余数则甲先划，甲必胜）

总数÷（所划格子最大数与最小数的和）=商 （没有余数则乙先划，甲必胜）

通过以上三种方法的对比教学，我们发现逆推法和存在一定的局限性，它不能解决总数是大数的问题，如果要划2017个格子游戏问题，用逆推法解决这个数学问题，就无法操作了，归纳法也同样存在这个问题，而“有余数除法”妙就妙在可以解决总数是大数的问题，它能使问题变得简单的，且只有“有余数除法”才没有这样的局限性，

2.经典问题2——抽屉原理

“ 抽屜原理”又称“鸽笼原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”。抽屉原理即把多于m个物品放到 m个抽屉里，至少有一个抽屉里的物品两个或两个以上。

例：如果把8本书放进3个抽屉，会出现怎样的结论呢？

这节课我通过枚举法、假设法、有余数除法去解决抽屉问题，枚举法要一一的描述各种情况，太繁琐，假设法，可以体现它的唯一性，但是就没有一般性了，最后我们总结得到，可巧妙的利用“有余除法解决”解决本例中的问题，得出：物体数÷抽屉数=商数……余数，至少数=商数+1 ，我们还得到抽屉里至少有“商+1”个物体的公式，也可以用字母“a÷n=b......c，总有一个抽屉至少可以放（ b+1）个物体”的抽象形式来描述。我们进而知道了用“有余除法”可以解决数学中的经典问题。

总之“有余数除法”在小学数学中是非常重要的知识点。我们不能忽略它，虽然它具有隐蔽性，跳跃性，但是它也是由易到难的，从小学二年级开始我们已经接触它，跳过三年级，在四年级时和整数除法如影随行，五年级又与小数除法关系密切，到了六年级的“抽屉原理”，顺理成章的来到你面前，你可要有所准备和思考！

参考文献：

[1]黄忠裕著.初等数学建模/黄忠裕著.四川大学出版社， 2004.12

[2]潘承洞.初等数论.北京大学出版社，2013.1

[3]小学数学课程教材研究开发中心.四年级上册教师教学用书.人民教育出版社，2014.6