冯世伟

摘 要：排列组合是高中数学中相对独立部分，其中立体几何模型中的涂色问题是师生反映较难的部分，对学生分析问题、解决问题能力要求较高.由于题目变化多端，结构复杂，思考过程容易出错，解答思路灵活，答案检验和纠错困难，本文以排列组合问题的一个错误解法为例，分析排列组合中涂色问题的常见认知错误，研究其产生错误的原因，找到解决问题的思路.

关键词：排列组合;常见错误;分类讨论;立体几何

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2021）13-0009-02

在讲排列组合复习课时，学生A拿着资料问我下面的一道题：

题目 某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图1所示的6个点A，B，C，A1，B1，C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）.

此题是高考理科填空题第16题 （重庆卷），这是一道“染色”问题与立体几何结合的综合试题，当时就给学生如下分析：由条件知点A处有4种选择，点B处有3种选择，点C处有2种选择，从而点A1处有3种选择，点B1处与点A处的灯泡可以同色，也可以异色，故点B1处也有3种选择，点C1处只有1种选择，由乘法原理共有4×3×2×3×3=216（种）方法.看数据与答案相符，当时还有点沾沾自喜的“成就感”.在第二天上课时我就将此题在班里讲了一下.

学生B说：“老师，您的解題思路有问题”.

我当时持有怀疑的心理，为了鼓励学生B，我还是说：“请你说说错误之处”.

学生B说：“在A，B，C指定了的染色方法后，A1，B1的“任意性”，可导致最终只使用了三种颜色的情况出现”.