张子振，邹俊宸

(安徽财经大学管理科学与工程学院，安徽蚌埠 233030)

先进的网络技术实现了世界各地分散资源的整合，使得人们能够通过网络及时共享和访问有价值的资源[1].近年来，迅速普及的社交网络和电子商务网站，给我们的日常生活和工作带来了许多便利.与此同时，计算机网络病毒的威胁日益严重，它们不仅试图破坏或删除计算机设备上的数据，甚至会攻击网络服务器，窃取个人与企业的敏感信息，导致难以估计的经济损失[2].近年来，基于系统动力学原理构建网络病毒传播模型，是研究网络病毒传播规律的一种重要途径，并且已经取得了不少研究成果.Zhu 等[3]研究了一类具有反馈控制的时滞反应扩散SIRS（Susceptible Infectious Recovered Susceptible）网络病毒传播模型的Hopf 分岔，Keshri 等[4-5]研究了两类不同形式的SEIR（Susceptible Exposed Infectious Recovered）模型的稳定性.Upadhyay 等[6]提出了一类具有免疫策略的SIV（Susceptible Infectious Vaccinated）无线传感网络蠕虫传播模型，并研究了模型的全局稳定性和Hopf 分岔.Xiao 等[7]提出了一类具有隔离策略的SEIQR（Susceptible Exposed Infectious Quarantined Recovered）移动网络蠕虫传播模型，并研究了模型的局部和全局稳定性.

以上研究均未考虑移动存储介质对网络病毒传播的影响.随着网络通信技术快速发展，我们的日常生活和工作，都离不开计算机网络的支持，同时也离不开诸如U 盘和移动硬盘等移动存储介质的支持.因此，移动存储介质的使用，在一定程度上也会影响网络病毒的传播.基于此，Gan 等[8]提出了下列考虑移动存储介质影响的SIRS 网络病毒传播模型：

其中，S(t)、I(t)和R(t)分别表示易感节点、感染节点和恢复状态节点在时刻t的数量，b为网络中节点的输入率，p为输入到网络中的节点的直接免疫率，q为输入到网络中节点的感染率，β为易感节点的感染率，µ为网络中所有节点的移出率，α1为易感节点由于免疫措施而具有的免疫率，α2为恢复状态节点失去免疫的概率，γ1为感染节点由于反病毒软件作用而转化为恢复状态节点的概率，γ2为感染节点由于重做操作系统而转化为易感节点的概率，θ为易感节点由于移动设备的使用而被感染的概率.

显然，模型（1）假设恢复状态节点是瞬时失去免疫的.在现实网络世界中，因为安装有反病毒软件，恢复状态节点往往具有一定的临时免疫力，并且新网络病毒的出现往往也需要一定的时间周期.因此在模型（1）的基础上，进一步考虑恢复状态节点的临时免疫期时滞，研究如下时滞模型：

其中，τ为恢复状态节点的临时免疫期时滞.本文主要研究临时免疫期时滞τ对模型（2）稳定性的影响.

1 Hopf 分岔的存在性

根据文献[9]中的Hopf 分岔存在性定理，可以得到下列结论.

定理1 对于模型（2），如果条件(H1)和(H2)都成立，那么当τ∈ [ 0,τ0)时，模型（2）局部渐近稳定；当τ>τ0时，模型（2）失去稳定并在有病毒平衡点E*(S*,I*,R*)处产生分岔周期解.

2 数值仿真

令p=0.5，q=0.2，b=5，µ=0.01，θ=0.001，β= 0.004 887，α1= 0.006，α2=0.8，γ1= 0.889 5，γ2= 0.01，可以得到如下模型（2）的示例模型，

方程（4）可以写成

方程（11）存在唯一正根I*= 147.883 9.从而，可以得到示例模型（2）的唯一病毒平衡点E*(184.4671,147.883 9,166.8531).

进而计算得到ω0= 0.7901，τ0= 1.672 8.

选取τ= 1.627 5 <τ0= 1.672 8，根据定理1 可知，示例模型（10）局部渐近稳定.仿真效果如图1 所示.

图1 当 τ= 1.627 5 <τ0= 1.672 8，示例模型（10）的仿真效果图

我们选取τ= 1.679 8 >τ0= 1.668 8，此时示例模型（10）失去稳定，并且在E*(184.4671,147.883 9,166.8531)附近产生一簇分岔周期解.仿真效果如图2 所示.

图2 当 τ= 1.679 8 >τ0= 1.668 8，示例模型（10）的仿真效果图

当τ= 1.627 5，θ取不同值（其他参数取值如示例模型（10）中不变）时，感染节点的状态轨迹如图3 所示.

图3 当 τ = 1.627 5，θ 取不同值时，感染节点的状态轨迹

由图3 仿真效果可知，θ的取值越大，感染节点的数量会增大.因此，对于移动存储介质的使用，要进行适当控制，满足需求即可.

当τ= 1.627 5，p取不同值（其他参数取值如示例模型（10）中不变）时，感染节点的状态轨迹如图4 所示.

图4 当 τ = 1.627 5， p 取不同值时，感染节点的状态轨迹

根据图4 仿真效果可知，当p的取值越大，感染节点的数量会减少.

当τ= 1.627 5，q取不同值（其他参数取值如示例模型（10）中不变）时，感染节点的状态轨迹如图5 所示.

图5 说明随着q的值不断增大，感染节点的数量会增多.因此，在网络用户的计算机接入网络之前，要尽量安装新版的反病毒软件，以保证接入网络中的计算机具有较强的免疫力.

图5 当 τ = 1.627 5，q 取不同值时，感染节点的状态轨迹

3 结 论

在文献[8]的基础上，本文进一步考虑到恢复状态节点的临时免疫期，引入临时免疫期时滞，研究考虑移动存储介质的时滞SIRS 网络病毒传播模型.相对于文献[8]中的模型，本文提出的模型更加具有一般性.研究结果表明，当时滞τ的取值足够小时，模型处于理想的稳定状态.此时便于控制网络病毒的传播.当时滞τ的取值超过临界点τ0时，模型就会失去稳定性，产生Hopf分岔，此时将不利于网络病毒传播的控制.此外，根据仿真结果我们发现，适当控制移动存储介质的使用，加强接入网络中计算机的免疫力，可以有效控制网络病毒的传播.