袁 翔

(温州大学数理学院，浙江温州 325035)

本文主要考虑复对称线性系统问题

其中A=W+iT是一个非奇异复对称矩阵，即A∈Cn×n，W和T都是n阶实对称矩阵，x,b∈Cn×1，为虚数单位.这种形式的复对称线性系统广泛应用于科学计算和工程应用中的许多实际问题，例如电磁学（麦斯威尔方程）、波传播（Helmholtz 方程）、量子力学（Schrodinger方程）、分子散射、结构动力学（机械系统的频率响应分析）、电路分析和量子色动力学（QCD框架）扩散光学层析、高速列车振动分析等，复对称系统也可能从某些移位和逆特征值算法的使用中产生，关于更多细节可以参见文献[1-5].

由于复对称线性系统的普遍存在和意义，近年来学者们对研究问题（1）的兴趣激增，针对这类线性系统提出了许多求解技术.基于（1）式中的A的厄尔米特和斜厄尔米特（Hermitian and Skew-Hermitian Splitting,HSS）分裂：A=H+S，其中，Bai 等人在文献[6]中最早建立HSS 迭代法，此处矩阵右上角的H 表示矩阵A的共轭转置（下文对某个向量和矩阵同理），再记表示对任意的矩阵B和C有B−C为对称正定矩阵（B−C为对称半正定矩阵）.然而在HSS 迭代法的每个步骤中，都需要求解一个偏移的斜厄尔米特线性系统，为了克服这一困难，Bai 等人在文献[7]中巧妙地设计了一种修正的HSS（Modified Hermitian and Skew-Hermitian Splitting,MHSS）迭代法；并在文献[8]中提出了预处理MHSS（Preconditioned Modified Hermitian and Skew-Hermitian Splitting,PMHSS）迭代法求解线性系统（1），并证明了此方法是无条件收敛的.PMHSS 迭代法的优良性，引起了研究者广泛关注，并得到了一些改进和推广的版本.Dehghan 等人[9]通过引入一个附加参数，提出了广义的PMHSS（Generalied Preconditioned Modified Hermitian and Skew-Hermitian Splitting,GPMHSS）迭代法.之后Li 等人[10]提出了一种不平衡的PMHSS（Lopsided Preconditioned Modified Hermitian and Skew-Hermitian Splitting,LPMHSS）迭代法，指……