张玉娟，王雪梅

(鞍山师范学院 数学与信息科学学院,辽宁 鞍山 114007)

2014年3月，教育部颁布了《全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，首次提出发展学生核心素养体系，并根据核心素养体系，明确学生完成不同学段、不同年级、不同学科学习内容后应该达到的程度和要求，指导教师准确把握教学的深度和广度[1].教师要在初中数学课堂教学中更好地发展学生的核心素养，引导学生进行深度学习.近年来，课程改革已经取得了丰硕的成果，教学形式多样化改变了教师“一言堂”的现象.但是，当前中学教学仍以应试作为终极目标，学生更多以浅层学习为主，被动地接受学习内容，机械地记忆概念、公式、法则等来应付考试.因此，改变浅层学习，促进学生进行深度学习十分必要.

深度学习最早在人工智能领域被提出，1976年被 Ference Marton和Roger Saljo[2]引入到教育领域中，他们首次提出了深度学习的概念，并将其与浅层学习进行了对比；2010年Chew Fook Tim[3]提出了关于深度学习的教学策略的建议.我国对于深度学习的研究较晚，2005年何玲，黎加厚[4]将深度学习引入中国，并对深度学习的概念做了界定，他认为深度学习是指学习者在学习过程中要注重理解，能够批判性地学习新思想和事实，并将新思想和事实纳入原有的认知结构中，能与众多不同的思想建立起联系，并将已有的知识迁移到新的情境中，做出决策和解决问题；2012年张浩、吴秀娟[5]提出深度学习的基本特征；2014年安富海[6]提出了促进学生深度学习的课堂教学策略.国内对深度学习的研究更多集中于深度学习的概念、特征、策略等方面，而对深度学习实施路径的研究还不多见.

1 DELC教学模式

DELC(Deeper Learning Cycle)即深度学习路径，是Eric Jensen和LeAnn Nickelse[7]在《深度学习的7种有力策略》一书中提出来的一种深度学习的教学模式，该模式一共有7个步骤，如图1所示.在该模式中，教师课前要仔细研读教材，对教学目标和教学内容进行设计，并对学生进行预评估；课上要给学生营造积极的学习文化，讲授新知识前帮助学生激活先期知识，使先期知识与新知识建立联系，选择适合的途径帮助学生获取新知，并促使学生对新知识进行深度学习，此外，还要对学生的学习进行评价；课后通过反思，对课前设计的教学目标和教学内容进行调整与优化.

图1 DELC教学模式图

DELC主要从教师教学的角度出发，能够帮助教师在教学过程中更好地促进学生进行深度学习.该教学模式已经赢得了国内外众多深度学习研究者的高度认可，并广泛应用于深度学习的研究中.

2 初中数学深度学习的实施路径

深度学习区别于浅层学习，需要教师遵循多重的操作步骤才能完成教学任务.由于初中数学“等腰三角形的性质”课程教学内容符合数学深度学习的特点，并且学生需要灵活应用等腰三角形的性质去解决问题，因此在课堂上需要对其进行深度学习.

下面基于初中数学深度学习的内涵、特点、DELC理论，以“等腰三角形的性质”为例，结合教学实际对初中数学深度学习的实施路径进行探究.

2.1 设计教学目标与教学内容

设计适合学生发展水平的标准与课程是深度学习前提.教育家布鲁姆曾说，有效的教学始于准确地知道所期望达到的目标[8].要设计出合理的教学目标，教师课前必须研究教材，吃透教材，对教材的处理要瞻前顾后，寻求数学的源与流，深刻分析教材的编写意图，把握教材的特点，创造性地使用教材.

要设计出深度学习的课程内容，还需要在课前对学生进行预评估，分析学生原有的知识基础和认知结构情况，了解学生的学习习惯、年龄、性别、兴趣、爱好以及性格特征，等等.对学生的预评估是教师确定教学内容和教学方法的重要依据，有助于教师明确教学的起点，为接下来学生能够进行深度学习提供重要的保障.

“等腰三角形的性质”这节课，是人教版初中数学八年级上册中第十三章第3节等腰三角形第1课时的内容.通过本节课的学习，学生要达到的目标为：探索并证明等腰三角形的两个性质；能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等；结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用.这节课在学生已经学习了三角形的基本概念、全等三角形和轴对称知识的基础上，进一步探索等腰三角形的性质.

在小学阶段，学生从静态角度初步认识了等腰三角形的边角关系，但很粗浅.本节课，学生通过动手剪等腰三角形并沿折痕对折，观察其重合的线段和角，进而猜想并证明出等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质，从静态和动态的两个不同角度认识等腰三角形.本节内容既是前面轴对称知识的深化和应用，也是学生后续学习等边三角形的重要知识储备，具有承上启下的重要作用.

课前，教师要对学生进行预评估.八年级的学生已经学习了等腰三角形的概念、三角形全等的判定、轴对称的概念和性质等知识，为本节内容的学习提供了基础.这个年龄阶段的学生对未知事物充满强烈的好奇心，并且已经具备了一定观察、分析和解决问题的能力，能积极参与课堂讨论，合理运用推理发现等腰三角形的性质，并对其进行证明.

2.2 营造积极的学习文化

“营造积极的学习文化”是进行深度学习的必要条件.在课堂中，有些学生存在学习焦虑、信心不足、缺乏学习兴趣等不良情绪，这些不良情绪影响着学生的学习.学生理想的学习状态是轻松积极、有活力、有求知欲的，所以在数学教学过程中，教师可以通过面带微笑、对学生进行表扬和鼓励等方式，为学生营造有归属感、安全感的学习氛围；通过设计趣味的教学活动，如讲故事、做游戏、观看视频等，为学生创造轻松愉快的课堂氛围.教师通过营造轻松愉快、有归属感和安全感的环境，确保学生处在积极的师生和生生关系中，调动学生积极的情感，使他们更容易集中注意力，全身心地投入到课堂中.

学习等腰三角形的性质时,在回顾轴对称和等腰三角形的相关知识、全等三角形的判定条件时，教师可以让学生以小组抢答的形式复习先期知识；通过设计让学生亲自动手剪等腰三角形的活动，营造轻松愉快的课堂氛围；在学生回答问题的过程中，教师要认真倾听，及时给予学生肯定和鼓励，使他们感受到自己是被尊重的.

2.3 预备与激活先期知识

预备与激活先期知识是深度学习的基础.学生已有的先期知识越多，学习起来就越容易、越迅速.在中学数学教学中，要达到预备与激活先期知识的目的，教师可以通过提问来引导学生记起与本节内容相关的先期知识，并将先期知识与本节的教学内容结合起来，这有利于学生在新旧知识间形成联结.

学习等腰三角形的性质时，教师首先让学生回顾轴对称的相关知识，用轴对称的知识探索等腰三角形的性质.其次，教师让学生复习全等三角形的判定定理，为接下来证明等腰三角形的性质做准备.最后，教师通过多媒体展示几幅生活中常见的与等腰三角形相关的图片，帮助学生巩固等腰三角形的概念等，这有助于学生将等腰三角形性质的学习纳入已有的认知结构中.

2.4 获取新知识

“获取新知识”是实现深度学习的重要保障.学生获取和接收信息有多种途径，选择怎样获取信息的途径尤为重要.在教学过程中，教师可以根据教学内容和学生的实际情况选取不同的途径，比如动手操作、小组合作交流、观察思考、分析资料、自主学习等，也可以将几种途径结合起来，帮助学生实现新知识的获取.

学习等腰三角形的性质时，教师让学生首先动手剪出一个三角形，再与同桌讨论找到重合的线段和角，最终通过小组合作进一步探究等腰三角形的两个性质.

2.5 深度加工知识

深度加工知识是进行深度学习的核心内容.深度加工知识是学习者将新旧知识建立联结、构建出新的知识体系、能够举一反三、不断解决问题的过程.深度加工有4个领域，分别是：觉知、分析到综合、应用、同化[7].

2.5.1 觉知 觉知是学习者通过观察、感受和倾听等方式来意识到周围环境中事物的变化，有助于学习者提升学习兴趣、理解概念、牢记知识，为接下来的学习做出更好的准备.虽然学生在这一领域并未进行深度学习，但觉知领域却是经历深度学习其他领域必不可少的前提条件.

等腰三角形的性质一课中，教师让学生按照教科书中所示的方式，利用事先准备好的长方形纸片和剪刀剪出一个三角形，再观察此三角形的特点.教师通过让学生动手操作和观察，使其感受到所剪出的三角形是等腰三角形，这不仅进一步帮助学生巩固了等腰三角形的概念，而且增强了他们的学习兴趣，充分活跃了学生的思维，为下一步对等腰三角形性质的探究创造良好的条件.

2.5.2 分析到综合 分析到综合需要学习者深度分析事物的整体和各个部分的信息，再重新将各个部分的信息综合成一个新的整体，以更为详细和条理分明的方式展开主题，有助于学习者充分经历知识的形成过程，理解主题内容的整体和各个部分，更好地掌握知识的本质.

在学习等腰三角形的性质一课中，学生剪出等腰三角形后，让学生将其沿折痕对折，学生会发现折痕即为对称轴，进而找出重合的线段和角，如图2所示，∠BAD=∠CAD；BD=CD；∠ADB=∠ADC=90°.

接下来，教师让学生对对称轴进行探究，通过小组讨论交流，学生得到：

由∠BAD=∠CAD可知对称轴为其顶角平分线；

由BD=CD可知对称轴为等腰三角形底边上的中线；

由∠ADB=∠ADC=90°可知对称轴为等腰三角形底边上的高线.

最后，学生对上述分析结果进行综合，得到“三线合一”的猜想，并利用严格的演绎推理验证猜想的正确性.

在探究等腰三角形“三线合一”性质的过程中，学生经历了从分析到综合的过程.

2.5.3 应用 数学来源于生活，又应用于生活.中国科学院院士、数学家姜伯驹曾说，随着计算机科学的发展，数学渗入各行各业，得到广泛的应用[8].应用中要求学习者不仅能够掌握所学的新知识，还能通过外部信息去激活、选择和提取相关的概念和命题，将其与当前问题联系起来并加以解决，有助于学生理解新知识、巩固旧知识、发展逻辑推理能力和思维能力.

学习等腰三角形的性质时，教师先让学生练习几道基础性习题，帮助学生巩固新知识.然后练习几道拓展性习题，考查学生的综合运用能力，如图3所示，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D.求∠DBC的度数.

图3 拓展性习题图

教师可以引导学生由此题的问题入手，若能分别求出∠ABC与∠ABD的度数，二者作差即可求得∠DBC的度数.在求∠ABC的度数时，学生需要激活并提取等腰三角形的性质和三角形内角和定理的相关知识，而求∠ABD的度数时需要激活并提取垂直平分线的性质和等腰三角形的性质,将这些知识与当前问题联系起来，最终求得∠DBC的度数.

教师通过精心设置习题，让学生不仅能掌握本节内容的基础知识，还能利用新旧知识间的联系解决复杂的问题.

2.5.4 同化 同化是指学习者所学习的新知识是在其已有旧知识的基础上添加新的特征性质而形成的，学习者利用已有认知结构中的相关知识对新知识进行加工，使新旧知识进行结合或相互作用，建立起非人为且实质性的联系，形成新的认知结构[9].这一领域有助于学生更好地理解知识，改造和重建原有认知结构，以适应新的学习.

学习等腰三角形的性质时，在对等腰三角形的性质进行探究的过程中，学生通过将剪出的等腰三角形沿折痕对折，就将等腰三角形与学过的轴对称的相关知识建立联系，从而找到其中重合的线段和角，进而探究出“等边对等角”的性质；再把相等的线段和角与学过的三角形的角平分线、中线、高线等概念建立联系，进而探究出“三线合一”的性质.等腰三角形性质的学习过程正是建立在已有认知结构的基础上，通过同化形成了新的认知结构.

2.6 评价学生的学习

评价学生的学习是完善深度学习的有效保证，也是高质量数学课堂的重要组成部分.为更加全面地反映学生的学习情况，教师应建立目标多元、方法多样的评价体系[10].评价不仅要关注学生的学习结果，还要关注学生在学习过程中的发展与变化；不仅要关注学生对基础知识和基本技能的理解和掌握情况，还要关注学生在情感态度方面的表现，这样才能不断激励学生学习，也有助于教师改进教学.

学习等腰三角形的性质时，在学生以小组抢答的形式复习旧知识时，对学生的回答结果进行正向的点评，增强学生学习数学的自信心；在学生动手剪等腰三角形、沿折痕对折找出重合的线段和角的过程中，对学生的表现进行积极的评价，提高学生学习数学的兴趣；在学生解答问题时，通过学生的做题情况，了解学生是否掌握了等腰三角形的两个性质、是否具备了综合应用知识的能力等.及时对学生进行评价，促进学生更好地发展.

3 结语

本文基于DELC深度学习路径，从设计教学目标与教学内容、营造积极的学习文化、激活先期知识、获取新知识、知识深度加工和评价等几个方面对“等腰三角形的性质”的教学实施路径进行探究，构建有效促进学生深度学习的教学模式.该教学模式能使学生深入体会知识的本质，把握知识的整体性和联系性，实现知识的迁移和应用，提高学生解决问题的能力.