刘顿

2020年湖北省随州市的中考数学试卷中有这样一道试题：

勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理. 在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.

（1）①请叙述勾股定理;②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见证明方法中任选一种来证明该定理.（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

（2）①如图4、图5、图6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1 + S2 = S3的有 个.

②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形的面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明.

（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程得到如图8所示的“勾股树”. 在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）

①a2 + b2 + c2 + d2 = ;

②b与c的关系为 ，a与d的关系为 .

仔细研究题目，会发现该题的文字与图形都是我们平时所接触过的，该题只是将这些文字与图形归结到一个题目中来，要求我们解决平时不曾要求解决的问题.

解析：（1）①如果直角三角形的两条直……