阎肖鹏，张志伟，王红萍

(中国人民解放军 91550部队 43分队，辽宁大连 116023)

0 引 言

目前常用的水声定位方法大多采用多基站交会定位、匹配场处理技术等[1-3]。利用多个基站进行交会测量，一般的方法是采用纯方位交会定位、到达时间定位或到达时间差定位等[4]。但是随着海上测量范围的增加，方位交会体制会随距离增大，误差也较快增大而变得不适用；到达时间定位体制则需声源与阵元之间有严格的时间同步，不能应用于非合作目标的定位；而到达时间差(Time Difference of Arrival, TDOA)定位体制主要是通过测量待测声源到各阵元之间的传播时间差来实现定位，仅需要各阵元之间的时间同步，特别适用于声信号的实时处理且定位精度较高[5]。因此，基于TDOA体制的多站时差定位方法更加适用于水下被动定位。由于TDOA方程是观测值和基站位置信息组成的非线性方程组，因此基于TDOA体制的被动定位解算是一个典型的非线性最优化问题。

目前求解TDOA方程组的方法一般可分为迭代方法和解析方法[6-11]，迭代方法如泰勒(Taylor)级数法，如果初值偏差较大，会导致迭代次数过多，增加算法的计算量，易出现不收敛的情况。解析方法不存在初始值选择问题且计算简单，一直是研究的重点。Chan算法是一种具有解析表达式的非递归方程组解法，算法仅需两次迭代、计算量小且计算直观。目前该算法被应用于水下测控设备组网集中式数据融合定位、室内三维定位、无源雷达定位等方面，具有可靠的精度[12-15]。海上声源测量区域范围大，影响因素复杂，主要存在以下问题：如果测量区域是深海海域，声信号传播条件和声信道会发生显著变化；声传播距离的增加就使多途效应更加明显，不同的到达路径带来更丰富的信息，同时载体技术以及声基阵构型设计问题会变得更加复杂；陌生深海海域水声环境的复杂性和不确定性将增大测量误差，对可靠性探测有显著影响等。如何获取高精度的海上声源位置信息，是定位测量研究的难点问题，除了考虑测量设备本身、声基阵构型及复杂海洋环境等影响，选择合适TDOA定位方程求解算法也是一个关键环节。为此，基于Chan算法本身的特性，结合海上声源定位测量，本文重点研究了Chan算法在海上声源测量中的应用。

1 TDOA被动定位原理

设海上声源位置为X=(x,y)，基站坐标为Xi=(xi,yi)，其中i=1 ,2,3,…N。如图1所示，在测量区域布设多个接收水听器或水听器阵列以获取水声信号，图中三角形符号表示测量区域布设的基站，十字表示声源位置。假设声源与接收基站处于同一深度，选定一个参考基站X1=(x1,y1)，如图中的基站1，分别测量声源到其他基站与到参考基站X1的时延差Δti，可得到N-1个方程组成的非线性方程组，最后通过常见的TDOA方程解算方法求解该方程组，可得声源位置坐标。

图1 TDOA定位原理图Fig.1 Schematic diagram of TDOA localization

从图1可以看出，基于TDOA体制的多站时差定位方法本质上是利用一组双曲线交汇的方法确定声源位置[16]，即利用每一组时延差测量值确定一条双曲线，最后由多组双曲线相交确定待测声源位置。TDOA解算基本流程如图2所示。

图2 TDOA定位解算流程Fig.2 Solution procedure of TDOA localization

2 Chan算法

在基于TDOA体制的被动定位模型解算过程中，求解非线性方程组是关键步骤之一。针对式(1)所列非线性方程组，可尝试采用Chan算法进行求解。Chan算法也称两步加权最小二乘法，是对最大似然估计的近似。其核心思想是首先将TDOA观测值和基站位置信息建立的非线性方程组转换为未知量和中间变量组成的线性方程组，利用最小二乘法求出声源位置的一个初步值，然后根据中间变量和未知变量之间的关系，最后利用最小二乘法求出声源位置的改善值。具体求解步骤如下：

其中：ri为声源到各基站的距离；r1为声源到参考基站距离。

将式(2)、(3)合并，整理后可得

其中：，Za=(xyr1)T。

3 算法仿真分析

3.1 工况设计

以选取的参考基站为坐标原点建立二维剖面坐标系，其中y轴正半轴指向正北，x轴正半轴指向正东。测量海域范围设为20 km×20 km，在该海域内按图3所示布设声学测量基站，在测量设备上搭载接收水听器构成测量基阵，假设声源位于图3所示区域内，声源与接收基阵处于同一深度。根据声源发出的水声传播信号，采用互相关技术，将各基站接收到的水声信号进行相关处理来得到TDOA观测值。

图3 基站布局示意图Fig.3 Layout of base stations

假定测量区域内声速c为常量，c=1 500 m·s-1，仅考虑TDOA测量误差，TDOA测量噪声为相互独立且服从零均值的高斯分布。为研究方便，可将时延差误差转化为距离差误差，用σΔr表示，σΔr= cσΔt。?定程度上标志着方程组解的敏感程度，反映了病态方程组的性态。因此，在上述最小二乘问题中，可通过计算矩阵的条件数来判断Chan算法定位的稳健性。表1为不同基站数目条件下，声源位于不同位置时，Chan算法中G矩阵条件数的统计情况。

表1 Chan算法中G矩阵条件数统计Table 1 G matrix condition numbers of Chan algorithm

3.3 结果分析

(1) 如图4(a)所示，若声源(x,y)处于测量区域中心附近、直线x=10 km附近或直线y=10 km附近时，利用Chan算法求解方程无法得到可靠的定位结果，这是因为在利用最小二乘求解声源位置初步值时，矩阵G的条件数较大，量级达到104，见表1。而式(6)中GTQ-1G的条件数为矩阵G条件数的两倍，其很小的扰动会引起解向量Za很大的扰动，矩阵病态性严重。因此，声源(x,y)处于测量区域中心、直线x=10 km附近或直线y=10 km附近时，Chan算法的定位误差较大，定位结果不可靠；当声源处于其他区域时，Chan算法的定位精度与Taylor级数展开法的定位精度相当，如图4(b)、4(c)所示；当声源位于(18 km, 18 km)(图4(f))时，此时矩阵G条件数较小，约为11.4左右，Chan算法的定位性能稳定可靠，定位精度较高；

图4 四基站布局时定位误差分布及随σΔr变化情况Fig.4 Localization error distribution and its variation with σΔr of the four base stations layout

(2) 如图5(a)、5(b)所示，当采用五基站布局方式时，Chan算法与Taylor级数展开法的定位精度分布规律相一致；同时声源定位精度随TDOA测量误差σΔr的变化量级也相当，如图5(c)～5(e)。可以看出，当σΔr＜200m时，若声源靠近坐标原点即参考基站附近(图5(c))，利用Chan算法的定位精度随TDOA测量误差的增大而增大，且逊于Taylor级数展开法的定位精度，而在其他区域时，如图5(d)、5(e)所示，定位精度则与Taylor级数展开法相当，说明Chan算法解算的定位方程组结果可靠。采用六基站布局时，精度分布规律及定位精度随TDOA测量误差σΔr变化的情况与五基站分布时规律一致，见图6。

图5 五基站布局时定位误差分布及随σΔr变化情况Fig.5 Localization error distribution and its variation with σΔr of the five base stations layout

图6 六基站布局时定位误差分布及随σΔr变化情况Fig.6 Localization error distribution and its variation with σΔr of the six base stations layout

(3) 通过分析可知，随着参加定位的固定基站数目的增加，Chan算法的定位精度得到提高，当基站数由四个增加到五个以上时，参与计算的系数矩阵病态性能得到了明显改善，定位结果更加可靠。因此，在条件允许的情况下，可通过设置更多的固定基站数量来获取更多的TDOA测量值，提高算法的稳健性，改善定位精度。通过综合分析，在本文选择的工况条件下，四基站布局在位置解算方程组时易出现病态，定位方程求解困难，当增加基站后，明显消除了病态性，算法更加稳健，故在实际应用中，为了避免因基站布局产生方程解算的病态性，建议选择基站数目选择五个以上。

4 结 论

针对海上声源位置高精度测量问题，本文研究了Chan算法在海上声源定位测量中的应用。通过与初值选择真值的Taylor级数展开法进行比较，对Chan算法的定位性能进行了评估。结果表明，利用Chan算法可求得TDOA非线性方程组的显式解，在求解过程中无需迭代且计算简单；在本文设计的工况条件下，当基站数为四个时，若声源处于测量区域中心附近、直线x=10 km附近或直线y=10 km附近时，利用Chan算法无法得到可靠的定位结果，方程解算出现病态；当基站数选择五个以上时，Chan算法具有较高的定位精度，在方程解算中也避免了病态性的出现。论文的研究结果可为海上声源定位系统的设计及基站合理布设提供参考依据。