左汉锋，仲从侃，韩庆邦

(1. 山东省产品质量检验研究院，山东济南 250100；2. 河海大学物联网工程学院，江苏常州 213022)

关键字：超声导波；充液管道；频散特性

0 引 言

管道运输是方便而高效的运输方式之一，尤其是地埋管道在供水系统的广泛运用，让它与人们的生活密切相关。然而，由于供水管道受腐蚀、老化以及第三方损坏等因素的影响，大量的水资源会因此而浪费。所以，在过去的几十年中，人们一直致力于地埋管道的漏损检测研究。

多年来，声学方法一直广泛应用于管道的漏损检测[1-2]。前人早已对充液管道中声波的传播特性进行了大量的研究。Pinnington等[3]给出了轴对称流体主导波和管壁压缩波的低频波数表达式。Fuller等[4]提出了在充满流体的薄壁圆柱形弹性壳中自由波的色散曲线和能量分布。Sinha等[5]分析了内外皆有流体负载的圆柱体中轴对称波传播的情况。Lafleur等[6]研究了充液管道中低频模态导波的传播特性。Muggleton等[7-8]提出了一种预测地埋充液管道波数和波衰减的低频理论模型。但该模型把土壤当作流体介质，没有考虑管道和土壤之间的剪切效应，与现实情况有一定差距。Li等[9-10]基于圆柱薄壳理论，分析管内气体与管壁之间的声学耦合，确定声波主要传输路径，从而选择合适的特征频带来抑制传输频散。但由于忽略了外部空气的影响，最终结果存在一定的误差。Gao等[11-13]进行了充液管道结构和流体低频运动的理论与实验研究，并在此基础上分析了流体主导波的频散特性和建立了充液管道中轴对称波动引起的地表震动解析模型。许洲琛和蒋謇等[14-15]运用孔隙介质弹性波动理论研究了纵向超声导波在无限流体包裹孔隙介质中的传播特性。

本文在现有文献的基础之上，将无限介质作为弹性介质考虑，首先推导出低频域周向波数n=0轴对称充液管道的振动方程。然后，求出流体主导波(s1 波)和管壁压缩波(s2 波)两种主要模态导波的波数公式以及相应的相速度表达式。最后，通过数值模拟方法对导波频散特性进行研究，并详细分析厚径比、管壁厚度、无限介质以及管壁材料对导波频散特性的影响。

1 理论分析

管道的坐标系如图1所示，ur、uz、uθ分别代表管壁在径向(r)，轴向(z)以及周向(θ)的位移，a、b、h分别是管道的内半径，外半径以及管壁厚度(h≤a)。管道、管内流体以及管外介质振动方程的求解过程主要参考文献[7-8]。无限介质包裹充液管道振动模型求解可得s1波和s2波的复波数解。

图1 无限介质包裹充液管道的坐标系Fig.1 The coordinate system for a liquid-filled pipe embedded in the infinite medium

2 数值计算及结果分析

关于充液管道的轴对称振动方程，主要有两种形式的波解，分别是流体主导波(s1 波)和管壁压缩波(s2波)。对于s1波，一般认为k1远大于平面压缩波波数kL，即s1波的波速比平面压缩波波速慢的多。而s2波的波数k2比流体的波数kf小的多，即管壁压缩波的波速远大于流体主体波的波速。管道参数、管内流体和无限介质的参数选取分别如表1和表2所示。

表1 管道参数Table 1 Parameters of pipe

表2 管内流体和无限介质参数Table 2 Parameters of inner fluid and infinite medium

2.1 厚径比对导波频散的影响

本文主要研究0～10 kHz的低频范围内，管道参数选取的不同对于导波频散的影响情况，默认管道为钢管。其中，厚径比为一个重要的参数。当管道内半径a不变，分别设置厚径比(h/a)为0.125、0.187 5、0.25，其他参数同表1、2所示。同时，s1波和s2波的相速度频散曲线如图2、图3所示。

图2 不同管道厚径比下s1波的相速度频散曲线Fig.2 Dispersion curves of s1 wave for different pipe thickness-to-radius ratios

图3 不同管道厚径比下s1波的相速度频散曲线Fig.3 Dispersion curves of s2 wave for different pipe thickness-to-radius ratios

当s1波的厚径比分别为0.125、0.187 5、0.25时，其起始速度分别为1 385.9、1 421.0、1 439.6 m·s-1，即起始速度随厚径比的增大而增大。此时，对应的截止速度分别是1 383.8、1 419.7、1 438.7 m·s-1，即相速度在0～10 kHz的低频范围内分别下降了2.1、1.3、0.9 m·s-1。因此，随着厚径比的增大，s1波相速度频散变慢。同时，起始速度之间的差值分别为35.1、18.6 m·s-1，即s1波相速度的起始速度增加更慢。

而s2波相速度的起始速度分别为4 993.5、4 983.5、4 978.2 m·s-1，即起始速度随厚径比的增大而减小。此时，对应的截止速度分别是4 990.0、4 980.4、4 975.3 m·s-1，即相速度在0～10 kHz的低频范围内分别下降了3.5、3.1、2.9 m·s-1。因此，随着厚径比的增大，s2波相速度频散也变慢。但起始速度之间的差值分别为9.6、5.1 m·s-1，即s2波相速度的起始速度减小得更慢。

结果表明，随着厚径比的增大，s1和s2波的相速度频散变慢。但s1波的起始速度增大，s2波的起始速度却减小，且s1波受厚径比的影响更大。

2.2 管壁厚度对导波频散的影响

当厚径比(h/a)为0.125不变时，厚度h发生变化，分别为0.001、0.002、0.003 m。此时，s1波、s2波的相速度频散曲线如图4、图5所示，s1波和s2波频散变化的趋势是相似的，即随着h的增大，相速度频散得更快，且起始速度和截止速度不会随厚度的变化而变化。其中，s1波的起始速度和截止速度分别是1 385.9和1 383.8 m·s-1，s2波的起始速度和截止速度分别是4 993.5、4 990.0 m·s-1，分别下降了2.1、3.5 m·s-1，s2波相速度下降的幅度明显更大。结果表明，当厚径比不变且厚度增大时，s1波和s2波的相速度皆频散更快，s2波受厚度变化的影响更大。

图4 不同管壁厚度下s1波的相速度频散曲线Fig.4 Dispersion curves of s1 for different pipe wall thickness

图5 不同管壁厚度下s2波的相速度频散曲线Fig.5 Dispersion curves of s2 wave for different pipe wall thickness

2.3 无限介质对导波频散的影响

当管壁材料不变，默认管道为钢管。此时，管外的无限介质也是影响导波频散的一个重要参数。如表3所示，表中选取四种固体介质：土壤、混凝土、砂岩、花岗岩，并分析固体介质对导波频散的影响。

表3 四种固体介质的参数Table 3 Parameters of four solid media

无限介质下s1波、s2波的相速度频散曲线如图6、图7所示，s1波和s2波具有相同的频散趋势，都是土壤中频散最慢，其次是砂岩，再者为混凝土，花岗岩中频散最快。结合表3分析，密度、纵波速度、横波速度都会对相速度的频散造成一定的影响。例如混凝土和砂岩的密度相等，但混凝土中纵波速度和横波速度皆比砂岩中快，此时混凝土中相速度频散得更快。

图6 无限介质下s1波的相速度频散曲线Fig.6 Dispersion curves of s1 wave in different infinite media

图7 无限介质下s2波的相速度频散曲线Fig.7 Dispersion curves of s2 wave in different infinite media

相比s1波和s2波在0～10 kHz的低频范围内的频散情况，s1波在土壤、混凝土、砂岩和花岗岩中的起始速度都是1 385.9 m·s-1，对应的截止速度分别是1 383.8、1 375.0、1 376.3、1 371.7 m·s-1，分别下降了2.1、10.9、9.6、14.2 m·s-1。而s2波的起始速度为4 993.5 m·s-1，对应的截止速度分别是4 990.0、4 975.8、4 977.9、4970.5 m·s-1，分别下降了3.5、17.7、15.6、23.0 m·s-1，明显s2波频散的更快。结果表明，s1波和s2波都与无限介质的密度、纵波速度、横波速度相关，且s2波受无限介质的影响更大。

2.4 管壁材料对导波频散的影响

当管道分别为表1中的钢管和PVC塑料管时，由于两种管道的材料特性完全不同，所以泊松比、杨氏模量、密度以及平面压缩波波速都是不同的。

假设两管道的厚径比都是0.125，此时s1波的相速度频散曲线如图8、9所示。在0～10 kHz的低频范围内，当管道为钢管时，s1波的相速度从1 385.9 m·s-1下降到1 383.8 m·s-1，s1波的相速度频散很慢。但当管道为PVC塑料管时，s1波的相速度从524 m·s-1下降到344 m·s-1，下降了180 m·s-1。相对于钢管，PVC塑料管中s1波的相速度频散非常快。

图8 钢管中s1波的相速度频散曲线Fig.8 Dispersion curve of s1 wave in a steel pipe

图9 PVC塑料管中s1波的相速度频散曲线Fig.9 Dispersion curve of s1 wave in a PVC pipe

钢管和PVC塑料管中s1波、s2波的相速度频散曲线如图10、11所示。无论是钢管还是PVC塑料管，在0～10 kHz的低频范围内，s2波的相速度频散都较慢。其中，在钢管中，s2波的相速度从4 993.5 m·s-1下降到4 990 m·s-1，且有持续下降的趋势。但在PVC塑料管中，s2波的相速度从1 705.3 m·s-1下降到1 703.8 m·s-1，且始终趋向于截止速度。结果表明，管壁材料对s2波的频散影响较小，但对s1波影响较大。尤其是在PVC塑料管中，s1波的相速度频散非常严重。证明钢管对于防止导波频散的效果更好。

图10 钢管中s2波的相速度频散曲线Fig.10 Dispersion curve of s2 wave in a steel pipe

图11 PVC塑料管中s2波的相速度频散曲线Fig.11 Dispersion curve of s2 wave in a PVC pipe

3 仿真分析

本节中采用的仿真软件是COMSOL Multiphysics软件，主要通过运用软件声学模块中的“声-固耦合，瞬态”接口。其中，声-固耦合是对压力声学接口和固体力学接口进行耦合，在流体域中求解瞬态波动方程，并运用压力声学接口对流体材料中导波传播的波速和声压波动进行仿真分析。同时在固体域中计算结构力学方程，运用固体力学接口对固体材料中位移场和应力场进行仿真分析。在使用“声-固耦合，瞬态”接口的基础上，对导波在无限介质包裹的圆柱管道中的传播过程进行模拟，从而完成对流体-管壁-无限介质圆柱管道的二维仿真模型的创建。

本文中创建的仿真模型共包括两个不同的物理场，分别是压力声学场和固体力学场。其中，流体介质层和固体介质层分别为不同物理场对应的区域。首先，对无限固体包裹仿真模型的声压和应力进行研究，并选择混凝土作为管外无限介质进行仿真分析。图12分别是0.1、0.5以及1 s时，混凝土包裹仿真模型的声压和应力的情况。

图12 混凝土包裹仿真模型三个不同时刻的声压应力图Fig.12 The sound pressure and stress diagrams of the concrete surrounded liquid-filled pipeline model at three different time points

从图12中可知，当时间为0.1 s时，单极点源开始激发信号，此时声源中心处声压最大，并逐步向四周递减。当信号透过管壁时，在无限介质中应力下降迅速，直到到达最外侧的自由界面时，部分信号往回反射。此时，自由界面处的应力有所上升。当时间为0.5 s时，此时声源中心处的声压依旧最大，且声压比0.1 s时更大。同样地，信号逐步向四周传播，当信号到达两侧硬边界时开始反射，造成了边界处的声压要比在声源和边界中间处的声压大。而且，由于信号在无限介质中反复地反射，无限介质中的应力都有所上升。当时间为1 s时，由于信号在管内反复地反射，因此，在声源中心处的声压比两侧的声压小。同时，由两侧向两边边界递减，无限介质中应力在同步增大。

其次，混凝土包裹接收点处的应力曲线图如图13所示，图中的点1、点2分别代表管内流体和管壁中两个接收点的应力曲线，两接收点处的应力都随着时间的增加而逐步增大。当时间小于0.5 s时，应力非常小，几乎接近于0。此时，应力增长的幅度更是微乎其微。但当时间大于0.5 s时，两接收点处的应力开始激增，直到0.8 s后，应力曲线几乎垂直上升。由图可知，图13与图12中应力的变化趋势相一致，且内部流体介质中接收点处的应力比管壁中接收点处的应力小得多。

图13 混凝土包裹接收点处的应力曲线图Fig.13 Stress curve at the receiving point of the concrete

通过3个不同时刻的仿真声压场中声压的变化，对照混凝土包裹接收点处的应力变化，可以看出这些时刻声压的变化趋势是一致的。由变化趋势得出无限介质对两种导波的频散特性都存在显著的影响的结论。并依据无限固体介质中接收点处的应力比管壁中接收点处的应力小得多的结果，可得出无限介质对管壁压缩波(s2 波)频散的影响比对流体主导波(s1波)更大的结论。这些结论验证了第1节理论分析和2.3节数值分析的正确性。

4 结 论

本文利用波传播方法对无限介质包裹充液管道的频散特性进行分析。首先，将管道和管外无限介质分别类似为同性薄壳和弹性介质。然后，对无限介质中充液管道在周向波数n=0轴对称模态下的耦合振动方程进行了推导。最后，分别对流体主导波(s1 波)和管壁压缩波(s2 波)的频散特性进行研究。结果发现，在周向波数n=0轴对称模态下，导波的频散情况与厚径比、管壁厚度、无限介质以及管道材料密切相关。本文还通过建立流体-管壁-无限介质圆柱管道的二维仿真模型，结合声压场声压的变化和混凝土包裹接收点处的应力变化，证实了无限介质对管壁压缩波(s2 波)频散的影响比对流体主导波(s 1波)更大。同时，管壁材料对s1 波带来较大影响，尤其当管道为PVC塑料管时，s1波频散非常严重。但对s2波的影响较小，可以忽略不计。由于管道与无限介质耦合会产生向外辐射的能量，所以无论是s1波还是s2波，在0～10 kHz的低频范围内，都会有一定的频散，但频散较小。因此，s1波和s2波都可以传播得较远。