孔凡 晁盼盼 徐军

摘要： 提出了一种计算随机与諧和联合激励下非线性分数阶系统响应二阶矩的统计线性化方法。假定位移响应可写为确定性均值和零均值随机分量之和的形式，原运动微分方程可化为关于均值分量的确定性微分方程和关于随机分量的随机微分方程组合。分别利用谐波平衡法和统计线性化方法对上述两类方程求解后，可得响应的确定性均值与随机分量。Monte Carlo模拟证实了该方法的有效性。

关键词： 非线性系统; 随机与谐和联合激励; 谐波平衡法; 统计线性化; 分数阶导数

引  言

分数阶导数模型在工程和科学问题中得到了广泛应用，如流变学[1]、扩散传输[2]和黏弹性材料力学模型等。对于黏弹性材料力学模型，Nutting等[3]在本构方程中首次使用分数阶导数的概念;Caputo[4]提出利用分数阶导数模拟地质地层的黏弹性行为;Slonimsky[5]，Smit和Vries[6]提出黏弹性介质应力与应变之间存在类似的分数阶微积分关系;Bagley和Torvik[7?8]不仅将分数阶导数模型应用于某些黏弹性材料（聚合物溶液和无交联聚合物固体），而且还证明分数阶微积分模型与材料物理原理是一致的。研究表明，黏弹性材料的分数阶导数模型具有简洁、紧凑的特点，只需少量参数就能在很宽的频率范围内描述黏弹性材料力学特性的频率依赖行为。

动力系统包含分数阶导数单元时，虽然简洁性使分数阶动力模型具有一定优势，但在解析或数值求解动力响应时却往往涉及比较复杂的计算。……