逯丽清，石雨点

（山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006）

0 引言及主要结果

非柱形区域上波动方程的能控性与能观性研究，近些年已经有一些比较好的结果，比如文献［1-8］，其中，文献［1］研究了具有移动边界的波方程的解，给出了几类具有特定移动边界的区域上波动方程解的具体形式。文献［2］研究了在类时间的非柱形区域上非线性波动方程初边值问题解的存在性。文献［3-7］研究有移动边界的区域上波方程的精确能控性与镇定问题。文献［8］借助广义傅立叶级数和加权L2-空间中的Parseval 等式研究了波动方程在固定边界和移动边界的能观性不等式。非柱形区域上波动方程内部点的能观性研究，有些文献对它已经有所研究并且得到了一些结果，如文献［9-11］，其中文献［9］研究了一维波动方程一个移动内部点的精确能控性。文献［10］研究了一维波动方程点态能控性作为内部能控性的极限。文献［11］对带动点控制的波动方程的能控性进行了研究。文献［12］主要研究了一维波动方程边界观测和内点观测的可容许性和精确能观性估计。本文主要研究了在梯形区域上具有混合边界的一维波动方程。借助于广义傅立叶级数和加权L2-空间中的Parseval 等式，分别导出了内部固定点和内部移动点的能观性不等式，并获得了解的同时精确能控性。

Ω 表示R2上的梯形区域

考虑Ω 上的如下系统：

定义系统(2)的能量函数为

下面给出本文的主要结果。对于任意的内部固定点a∈(0，lt0)，考虑由系统(2)的解确定的一个Neu⁃mann 观测器Cu=ux(a，t)，则有下面的可容许、可观测不等式。……