曹森林

[原題再现]

例（2020·山东·泰安）若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC = ∠EAD = 90°.

（1）如图1，点B是DE的中点，判断四边形BEAC的形状，并说明理由.

（2）如图2，若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF = CD. 求证：①EB = DC;②∠EBG = ∠F.

[图1][图2]

[考点剖析]

1.知识点：等腰直角三角形的性质、三角形全等的条件与性质、平行四边形的判定方法.

2.思想方法：转化思想.

3.解题策略：寻找全等三角形、倍长中线等.

4.基本模型：手拉手模型、8字型全等模型、中点模型.

[学情分析]

（1）问考查平行四边形的判定方法.平行四边形的判定方法有五种：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形.结合题意并抓住题目中的几何要素，方能合理选择判定方法.

解：（1）四边形BEAC是平行四边形.（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

理由：∵△EAD为等腰三角形，且∠EAD = 90°，∴∠E = 45°.

∵B是DE的中点，∴AB⊥DE. ∴∠BAE = 45°.

∵△ABC为等腰三角形，且∠BAC = 90°，∴∠CBA = 45°，∴∠BAE = ∠CBA.∴BC[?]EA.

∵AB⊥DE，∴∠EBA = 90°， ∴∠BAC = ∠EBA = 90°.

∴BE[?]AC. ∴四边形BEAC是平行四边形.

（2）问中第一小问要证明线段EB = DC的方法较多，根据题目中两个等腰直角三角形提供的信息，结合边角关系寻找全等来解决问题比较合理;第二小问要证∠EBG = ∠F，合理处理中点信息很关键，可借助倍长中线的策略转移等价线段.

解：①∵△AED和△ABC为等腰三角形，∴AE = AD，AB = AC.

∵∠EAD = ∠BAC = 90°，

∴∠EAD+∠DAB = ∠BAC+∠DAB，即∠EAB = ∠DAC，

∴△AEB ≌ △ADC，∴EB = DC.

②延长FG至点H，使GH = FG，如图3，

∵G是EC的中点，∴EG = CG.

∵∠EGH = ∠FGC，∴△EHG ≌ △CFG，∴∠H = ∠F，EH = CF.

∵CD = CF，∴BE = CF，∴BE = EH，∴∠EBG = ∠H，∴∠EBG = ∠F.

[变式应用]

变式1：如图4，若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC = ∠EAD = 90°，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α（0° < α < 180°），延长DC交BE于P，求证：DP⊥BE.

解析：先证△AEB ≌ △ADC，可得∠EAB = ∠DAC.结合三角形内角和定理判断……