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选取角为自变量解题

2021-08-19武增明

数理化解题研究 2021年13期
关键词:角为关系式四边形

武增明

(云南省玉溪第一中学 653100)

选取以角为自变量解题,是高中数学解题的一种常用方法,但多数同学往往想不到、用不上.选取以角为自变量的解题方法,有着十分广泛的应用.如求点的横坐标或纵坐标的取值范围(最值),求圆锥曲线离心率的取值范围(最值),求三角形的边长、面积、周长的取值范围(最值),求三角形的两边之和或之差或之积或之商的取值范围(最值),求多面体的体积的取值范围(最值),求平面凸多边形的边长、面积、周长的取值范围(最值)等.如何选取角为自变量进行解题研究,以下举例说明,旨在抛砖引玉,以飨读者.

一、选取角为自变量求点的横坐标或纵坐标的取值范围(最值)

例1 (2014年高考全国Ⅱ卷·理16)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是____.

分析选取∠MNO为自变量,记∠MNO=α,应用正弦定理建立x0与α的关系式,问题转化为求角α的三角函数的值域问题.

解析因为点M(x0,1)在直线y=1上运动,记∠MNO=α,如图1,则∠MON+α=135°,所以0°<α<135°.又因为MO≥ON,所以在△MON中知,α≥45°,于是45°≤α<135°.

从而x0的取值范围是[-1,1].

二、选取角为自变量求线段长度的最值(取值范围)

例2 在边长为2的正△ABC的边AB,AC上分别取M,N两点,点A关于线段MN的对称点A′正好落在BC边上,则AM长度的最小值为____.

分析连接A′M,如图2,因为AM=A′M,所以问题转化为求A′M长度的最小值.在△BMA′中,因为∠B=60°,又设AM=x,则A′M=x,BM=2-x,选取∠BA′M为自变量,记∠BA′M=θ,运用正弦定理建立x与θ的关系式,问题又转化为求x关于角θ的三角函数的最值问题.

三、选取角为自变量求平面凸多边形的边长的取值范围(最值)

例3(2015年高考全国Ⅰ卷·理16)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是____.

在△BDC中,因为∠C=75°,所以∠DBC+θ=105°.

又0°<∠DBC<75°,所以0°<105°-θ<75°.

于是30°<θ<105°.

四、选取角为自变量求平面凸多边形面积的取值范围(最值)

例4 如图4,圆O的直径为2,A为直径延长线上一点,且OA=2,B为半圆周长上任意一点,以AB为边作等边△ABC,问点B在什么位置时,四边形OACB的面积最大,并求出这个最大面积.

解析选取∠AOB为自变量,记∠AOB=x,则

=sinx.

在△AOB中,由余弦定理,得

AB2=12+22-2×1×2cosx

=5-4cosx.

保健食品备案双轨制、婴幼儿配方乳粉严格注册及监管、特殊医学配方食品参照药品管理……都在推动着特殊食品行业提质增效,为消费者提供更加安全的产品。边振甲表示,在“健康中国”指引下,面对巨大消费市场以及快速变化的时代,中国特殊食品行业在2018年迈入了规范化管理、精细化运作、高质量发展的新阶段。

于是S四边形OACB=S△AOB+S△ABC

评注(1)确定点B位置的方法有两种,方法1是求点B的坐标,方法2是求∠AOB的大小;(2)由于要用变量表示四边形的面积,所以选取∠AOB为自变量求解较为便捷.

五、选取角为自变量求三角形面积的取值范围(最值)

(1)求B;

(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.

解析(1)B=60°(过程略).

(2)角A,C都是变量,在这里选取角C为自变量.

由(1)知,A+C=120°.

由于△ABC为锐角三角形,

故0°

六、选取角为自变量求三角形两边之积的最值(取值范围)

例6 已知线段AB=24,直线l∥AB,且直线l到直线AB的距离为5,P为直线l上任意一点,则|PA|·|PB|的最小值为____.

解析选取∠APB为自变量,记∠APB=α,则运用三角形的面积公式,利用等面积法思维,建立|PA|·|PB|与角α的关系式,问题转化为求角α的三角函数的最小值问题.

如图5,根据三角形的面积公式,可得

即|PA|·|PB|sinα=24×5.

七、选取角为自变量求圆锥曲线离心率的取值范围(最值)

解析为了书写方便,不妨记|PF1|=m,|PF2|=n.选取∠F1PF2为自变量,记∠F1PF2=θ,则

评注用此法求解此题,不是最简捷,笔者认为运用如下性质求解速度快,|PF1|≥a+c,|PF2|≥c-a,|PF1|+|PF2|≥|F1F2|.笔者在这里用此法求解此题,旨在与同仁一道体验选取角为自变量来解题的过程.

八、选取角为自变量求多面体体积的最值(取值范围)

令sin2θ=x(0

令f(x)=x(1-x)3(0

究竟怎样选取自变量角解题?通过以上几例的解答,我们可以发现,要先找出题设中的变量,然后确定变量中的角为自变量,再从多个变量角中选取一个变量角为自变量,结合正弦定理、余弦定理、三角公式、三角形的面积公式、三角函数等相关知识点,建立所求取值范围(最值)的变量与所选取自变量角的关系式,由此把问题转化为求所选取自变量角的三角函数的值域(最值)问题,同时要注意所选取自变量角的取值范围.

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