潘小平

(江苏省灌云高级中学 222200)

高一数学课堂在复习到立体几何时，必定绕不开垂直问题，包括线线垂直、线面垂直和面面垂直.复习课时,学生对立体几何中定理的理解和记忆已经初步形成，这时就需要对垂直问题进行归纳整理，让学生在听懂会做的基础上，建立发散思维习惯和锻炼学生的空间想象力.下面我就通过在复习课上的一道书后习题和大家共同探讨立体几何中的垂直问题.

例1 (苏教版高中数学必修二51页第15题)如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为BD的中点，问：在棱AA1上是否存在一点M，使平面MBD⊥平面OC1D1?如果存在，求出AM∶MA1的值；如果不存在，请说明理由.

这道题目学生自己处理的效果不理想，学生对于空间中给定位置直接证明垂直已经没有问题了，但是这道题是一道探究题，对于找到点M位置无从下手，联系面面垂直的判定定理，知道要找到线面垂直，可是点M不确定，肯定没办法直接找到的.问题出来了，这时引导学生看教材的封面图形，如图2所示，探讨下面的问题.

问题1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，先试一试如何证明A1C⊥BD?直线A1C能不能与平面BDC1垂直呢？

学生很快就能把问题1的证明过程书写出来，如下：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接AC.因为AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以AA1⊥BD.又四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.由线面垂直的判定定理，得BD⊥平面AA1C,A1C⊂平面AA1C，则A1C⊥BD.那么我们只要再证明A1C垂直于BC1或者DC1即可，证明方法如上.这时再回到例1，发现我们需要找到点M，使得两个平面垂直，只有线面垂直还不够，那么从图2中我们还可以发现，过直……