北京 苏汉杰

2020年是北京新高考文理合卷的第一年，从整套试卷的试题结构和灵活性来看，与往年相比有一些创新，但是北京卷的整体命题思路没有改变，一些优秀的方面得到了很好的传承.比如第20题解析几何，既有高等几何的背景，又重点考查了先猜后证、化归与转化的数学思想和用坐标方法解决几何问题的基本解题思路，是一道非常好的题目.下面笔者对这道题目进行探究.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

第(Ⅱ)问中，变化量是过点B(-4，0)的直线l的斜率，其他的量都可以由其导出，所以运算的思路非常清晰.我们不妨设直线l的方程为x=ny-4，M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆C与直线l的两个交点，直线MA，NA以及点P，Q都可以用点M和点N的坐标来表示，并最终在运算过程中替换为n的表达式，达到化简求值的目的.

详解：(Ⅰ)把A(-2，-1)代入椭圆方程，

(Ⅱ)当直线l的斜率为0时，即直线l：y=0，

当直线l的斜率不为0时，设其方程为x=ny-4，M(x1,y1),N(x2,y2)，

又x1=ny1-4，x2=ny2-4，

将①式代入，得yP+yQ=0，

第(Ⅱ)问这种变化中的不变性是射影几何的基本性质，是北京卷和其他高考试卷解析几何试题的重要背景.这些知识是高等几何的知识，考生在高中阶段是不要求掌握的.但是作为教师，如果能够掌握相关的知识，就能够做到不但知其然，还知其所以然，能够站得更高，看得更远.下面笔者来给出相关的定义、定理和有关推论：

1.交比

2.调和共轭

给定二次曲线C与点P，Q，如果P，Q两点的连线与二次曲线C交于两点M，N，且(PQMN)=-1，则称P，Q关于二次曲线C调和共轭；

(2)性质：不在二次曲线上的一个定点P关于一条二次曲线的……