华南师范大学附属中学(510630)罗碎海

2021年高考落下帷幕,一线教师高考研究的热情进入高潮.每年的高考题会出现一批批立意新颖充满趣味的好题,2021年新高考I 卷数学第21 题就是一例,值得欣赏,值得推广.

1 原题赏析

题目(2021年新高考I 卷第21 题)在平面直角坐标系xOy中,已知点点M满足|MF1|−|MF2|=2.记M的轨迹为C.

(1)求C的方程;

(2)设点T在直线上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

读完该题,有几个问题值得思考:

问题1 为什么题目给出的是双曲线的右支,不是全部,想考查什么?

问题2 题目中的等式|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,在完整的双曲线中是否仍然成立?

问题3 由等式|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,联想到圆的相交弦定理与切割线定理,那么在圆锥曲线中有对应的定理吗?

分析1第一问很简单.看到第二问,自然想到用韦达定理转化求距离.

评述(1)在此解法中,考虑到Δ>0,但此时直线AB与双曲线的两个交点A,B可能分别在双曲线左右两支上,这个Δ>0 与该题不等价.但无论是在双曲线一支上有两交点,还是在两支上各有一个交点,本题答案不变.

(3)如果以上两个细节要说清,比较麻烦.但该题结论对整个双曲线成立,与一支或两支无关,细节不清,答案不受影响.所以该题易做,得满分不易.

分析2对于第二问,看到|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,联系直线的参数方程中参数的几何意义,应该更易解答.

由题意可知,直线斜率k满足|k|>4,得到16cos2α−sin2α<0,16cos2β−sin2β <0,由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,得sin2α−16cos2α=sin2β−16cos2β,⇔1−17cos2α=1−17cos2β ⇔cos2α=cos2β,因为α,β∈(0,π),且αβ,所以α+β=π,所以,两直线斜率k1与k2满足k1+k2=0.

评述该解法考虑直线与双曲线交于一支,但未说明点T的位置.由于答案不受影响,还是抓主要矛盾吧.也许出题人就……