重庆市两江中学校(401120)邓元洁 彭锋

2020年俄罗斯奥林匹克不等式试题如下:

这是一道四个二次根式线性和最小值问题,文[1]介绍了用对称原理和平衡状态分析思考数学问题;笔者从“层次对称”和巧妙利用取等号条件,配系数等方法破解此题.

分析求四个二次根式的线性和的最小值,一看就知道本题不简单,用纯代数的方法求解肯定行不通,应该考虑化归思想综合运用多种方法求解.从式子的结构我们联想到两点间的距离公式,于是建立平面坐标系,将式子转化为形,数形结合,借形解数.

解析在直角坐标系Oxy中,设P(x,y),A(1,0),B(1,1),C(0,1),由两点间的距离公式将所求式子转化为线性和得M=3PO+5PB+下面用地位平等对称的数学思想来思考问题切入求解.

如上图1,注意到边长为1 的正方形OABC的四个顶点对于动点P来说地位平等对称,要使M取最小值,故应该考虑系数较大的线性之和最小.根据地位平等对称的原则,将系数最大的5PB拆分,一共分为三组(即三个层次)每组的系数和相等,要使总和最小,则系数最大的线段和应该最小,于是有如下解法.

图1

解法1(三角法,用正弦定理解三角形求解)设∠OPA=θ∈[0,π],在ΔPAB中,由正弦定理可得:

图2