李昌成 张 珍

(1.新疆乌鲁木齐市第八中学 830002；2.新疆奎屯市第六中学 833200)

一、同构法简介

数学中很多式子的结构就反映了本质，具备了结构才具有其性质.同构法就是利用同构式解题的方法.同构式是结构相似，架构相同的式子.利用同构法解题的基本步骤有：(1)构造合理正确的同构式；(2)利用相关性质解题；(3)回归题目，完成解答.

二、应用举例

解答指数函数、对数函数、三角函数、平面向量、数列、导数以及不等式等模块的试题时，经常会用到同构法.下面以2020年高考数学试题为例，谈谈同构法的应用.

例1 (全国Ⅱ卷理科第11题，文科第12题)若2x-2y<3-x-3-y，则( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

分析以指数式的指数为研究对象，将原不等式变为2x-3-x<2y-3-y，构造函数f(t)=2t-3-t，易判断f(t)在R上单调递增.由单调性的定义知x

解由2x-2y<3-x-3-y移项得：2x-3-x<2y-3-y.

令f(t)=2t-3-t，则f(x)

因为y=2x为R上的增函数，y=3-x为R上的减函数，所以f(t)为R上的增函数，所以x0，所以y-x+1>1，所以ln(y-x+1)>ln1=0，因此，A正确，B错误；而|x-y|与1的大小没有信息能确定，故C，D无法确定.

综上，选A.

评析本题考查了指数函数的性质，对数式的大小的判断，解题的关键是构造函数f(t)=2t-3-t，构造的依据是函数的概念，解析式的相同结构.利用该复合函数的单调性得到x,y的大小关系，解题过程渗透了转化与化归的数学思想.

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析从指数式、对数式的底数入手，结合指数式、对数式运算性质，构造函数f(x)=2x+log2x，利用放缩技巧，根据f(x)的单调性可得到正确答案.

解设f(x)=2x+log2x，易知f(x)为增函数，因为2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，而22b+log2b<22b+log22b，所以2a+log2a<22b+log22b.

即f(a)

综上，选B.

评析本题以指数函数、对数函数以及指数、对数的运算为基础，主要考查函数、方程、不等式的关系，突破口是同构法的应用.恰当放缩才能利用函数f(x)=2x+log2x的单调性比较大小，……