侯思路

(江苏省运河中学 221300)

函数与导数是高中数学的重点内容，在高考试卷中分值约占22～27分，函数与导数知识在高考试卷中多以压轴题的形式出现，它也是高中数学中的难点内容，能否突破函数与导数题是高考得高分的关键.下面结合高中数学教学实践，例谈破解高考函数与导数压轴题的小妙招.

一、利用导数研究函数的单调性、极值与最值

利用导数研究函数的性质是高考命题的常见形式，每年高考命题中都会有所涉及.常见的命题形式包括：

1.判断函数f(x)的单调性或单调区间；

2.求函数f(x)的最值；

3.已知函数的单调区间、最值求参数的值.

典型例题已经函数f(x)=ax,g(x)=lnx.

(1)若函数F(x)=f(x)-g(x)有极值-1，求实数a的值；

(2)若函数G(x)=f[sin(1-x)+g(x)]在区间(0，1)上为增函数，求实数a的取值范围.

思路分析(1)求函数F(x)的解析式，并求导，对实数a进行分类讨论，判断F′(x)的符号，利用函数F(x)有极植-1，求出关于参数a的方程，解方程，求出实数a的值；

(2)求函数G(x)的解析式，并求导，由函数G(x)在区间(0,1)上为增函数转化为G’(x)≥0对x∈(0,1)恒成立，再将恒成立问题转化为求参数的取值范围问题，从而求出实数a的取值范围.

解析(1)因为f(x)=ax,g(x)=lnx且F(x)=f(x)-g(x),所以F(x)=ax-lnx(x>0)，

(2)因为f(x)=ax，g(x)=lnx，且G(x)=f[sin(1-x)]+g(x),

所以G(x)=asin(1-x)+lnx，

所以h(x)在(0，1)上单调递减，所以h(x)>h(1)=1，所以a≤1，所以实数a的取值范围是(-∞，1].

破题策略本题设计意在考查分类讨论和方程思想，检验学生的化归与转化能力和运算求解能力.破题关键：(1)方程思想，即对于含有参数的可导函数有极值的关键是对参数进行分类讨论，并寻找其导数为零的根，以及在根的左、右两侧导数的符号；(2……