刘彦永

(吉林省长春市东北师范大学附属中学 130000)

2020年高考新课标Ⅰ卷文科第21题，引起了笔者的深入探索和思考.题目如下：

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点.

一、试题分析

本题也是2020年高考全国1卷理科第20题，考查了曲线的方程和圆锥曲线中直线过定点问题.问题由浅入深，对计算难度、思维深度的要求逐步提高.考查学生的推理论证能力和代数运算能力.考查层次分明、区分度较高，能使学生充分展示理性思维的广度和深度和数学核心素养.

二、解法探究

图1

本题第(2)问的解法很多，不同的解法体现不同的思维层次和思考角度，要求学生要有一种勇于探索、敢于实践的精神.

解析(1)根据题意作图如下：

下面对第二问深入探讨：

解法1设点表线解决问题

(2)证明：设P(6,t)，则直线AP的方程为

整理得(t2+9)x2+6t2x+9t2-81=0，

点评对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点问题，设该直线上两点的坐标，建立点的坐标满足的方程，求出相应的直线，然后再说明直线过定点.

解法2 设点设线解决问题

(*)

整理得4x1x2-15(x1+x2)+36=0，

即4(ty1+n)(ty2+n)-15(ty1+ty2+2n)+36=0，

点评解法2巧妙利用坐标的平方，再结合点在椭圆上处理问题，这就是曲线代换，2011年四川理科高考圆锥曲线题就可以用曲线代换解决.反设直线也避免了讨论斜率是否存的情况，事实上，先讨论斜率不存在，再设直线CD方程为y=kx+m解决问题也会有巧妙处理技巧，在此不赘述.

解法3整体法解决问题

同解法2可知，2tny1y2=(9-n2)(y1+y2)

(**)

整理得2ty1y2+3(n-3)y1-(n+3)y2=0，结合(**)式有

(2n2-9n+9)y1+(-2n2-3n+9)y2=0，

点评解法3利用韦达定理很难处理，然而利用(**)式进行替换，利……