黄治元

(浙江省宁波市鄞州中学 315104)

含参数的最值问题、恒成立问题是高考数学中的热点问题，解题方法一般是通过对参数进行分类讨论，但分类情况比较多时就会显得繁琐复杂.若先缩小参数范围再加以讨论，则往往会优化解题过程.

一、利用特值检验，缩小参数范围

对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象.

解析这是2017年天津市高考理科试题选择题第8题，标准解答如下：

当x>1时，(*)式为

故选A.

评注此法思路过程虽严谨清晰，但有点“小题大做”，不符合选择题的解题特点.快速找出正确答案才是上策，解法如下：

例2 已知a>0，函数f(x)=|x2+|x-a|-3|在区间[-1,1]上的最大值是2，则a=____.

解析函数f(x)带有双重绝对值，绝对值函数问题一般是先去掉绝对值符号转化为分段函数，但本题去掉内层绝对值转化为分段函数后不易确定相应的自变量x的范围，这给后续分类讨论带来不便.若先缩小参数a的范围，问题得到解决.

解法如下：f(0)=||a|-3|=|a-3|≤2(a>0)⟹1≤a≤5，

∴当x∈[-1,1]时，f(x)=|x2-x+a-3|.

∴f(-1)=|a-1|≤2⟹-1≤a≤3，从而1≤a≤3.

∴f(x)=|x2-x+a-3|，x∈[-1,1],1≤a≤3

评注在得知1≤a≤3的情况下，求解①，②也更快捷.

例3设函数f(x)=3|ax|-(x+a)2，其中a∈R.若对任意x∈[a,a+1]，恒有f(x)≥-1，求实数a的取值范围.

解析先缩小参数a的取值范围找其使命题成立的必要条件，有时该必要条件也恰好是使命题成立的充分条件，接下来证明其充分性即可.

下面证明，当a∈[-1,0]时，对任意x∈[a,a+1]，恒有f(x)≥-1.

(1)当a≤x≤0时，f(x)=-x2+ax-a2，f(a)=f(0)=-a2≥-1，故f(x)≥min{f(a),f(0)}≥-1成立；

(2)当0≤x≤a+1时，f(x)=-x2-5ax-a2，f(a+1)≥-1，f(0)≥-1，

故f(x)≥min{f(a+1),f(0)}≥-1成立；

由此，对任意x∈[a,a+1]，恒有f(x)≥-1.

所以实数a的取值范围是[-1,0].

例4已知函数f(……