钟华,阮怀林,孙兵,龚燕

(国防科技大学电子对抗学院,230037,合肥)

Cramer-Rao bound; pulse train radiation source

无源定位通过被动接收辐射源信号,具有机动灵活且电磁隐蔽性强的特点,在军事情报侦察、机载侦察、资源考察等领域作用日趋显著。传统的无源定位技术,主要包括测向交叉定位[1-2]、到达时间(TOA)定位[3-4]、时差(TDOA)定位[5-6]、频差(FDOA)定位[7]以及同时利用多种定位方法的复合定位[8]等。

直接定位法(DPD)是近些年无源定位领域的热门算法[9-24]。Weiss等人首次提出了DPD算法[9],利用多个观测站,将目标的角度信息融合在阵列流型中,同时通过对接收数据进行离散傅里叶变换,将时延信息转换为相位信息,便于数据的处理,算法初次实现了单目标的直接定位。文献[10]研究了未知波形信号的DPD算法,结果表明MUSIC方法能有效降低算法的复杂度。文献[11]对存在多径效应、阵列误差、相位误差等情况下的DPD算法定位表现进行了研究。当辐射源发射的信号波形完全已知时,可以有效提高DPD算法的定位表现。Bar-Shalom和Weiss提出了一种针对OFDM信号的DPD算法[12],该算法将OFDM信号中的先验信息和数据中的信息结合在一起,以获得OFDM信号辐射源的极大似然估计值,相比于传统的两步定位法,该算法在低信噪比下更接近于克拉美罗界(CRLB)。当存在多个窄带目标辐射源信号时,Weiss等人提出了针对多个窄带信号辐射源的DPD算法[13],该算法以迭代方式实现ML标准。之后,Weiss等人将多普勒频移用于DPD算法,运用速度和位置已知的运动接收站对辐射源进行定位,分别在信号已知和未知状态下建立代价函数,最后寻找目标函数极值点对应的网格点,实现对辐射源的定位[14]。针对静止辐射源,Weiss等人提出了一种用移动接收站观测的基于时延和多普勒频移的极大似然估计器[15],为了实现所提出的方法,所有的观测信号必须输送到一个处理中心进行后续信号处理。

同时,国内专家学者也对直接定位算法的应用进行了很多有意义的探索。文献[20]先将接收到的辐射源信号划分为多个非重叠短时信号段,再利用同一接收机接收到短时信号之间的相干性,进行直接定位处理。经过相干求和处理,定位精度会随着两个短时信号时间间隔的增加而提高。文献[21]提出了一种确定波形条件下,直达与非直达环境中多目标直接定位算法。算法利用已知波形信息,将多目标问题转换为单目标问题进行求解。该算法相对传统两步定位算法计算量更低,定位精度更高。文献[22]提出了一种针对严格非圆源的直接定位算法,通过有限次迭代,将接收到的信号进行解耦处理,大大降低了计算的复杂度,同时文章推导了严格非圆阵的克拉美罗界。文献[23]对恒定速度和恒定加速度的窄带移动辐射源定位情况进行了研究,针对两个运动模型提出了适合其特性的牛顿迭代算法,与多维网格搜索算法相比,该算法在不影响估计精度的前提下更有吸引力。文献[24]使用多个接收机收集时延和多普勒拉伸信号来解决固定辐射源的定位问题,通过将宽带信号高精度地分解为少量的低维信号,并结合信号的时延和缩放信息,提出了一种计算效率高的DPD算法。

以上列举的直接定位算法均假定各接收机接收的噪声是均值为0、方差恒定的高斯白噪声,然而在实际侦察接收过程中,各阵元接收到的信号噪声统计特性无法完全保持一致。一方面,由于各侦察站接收机的带宽差异引起接收机内部噪声强度不同。另一方面,各侦察站不同传输路径损耗、接收天线的通道不一致性等因素干扰,都有可能造成各侦察站接收到的等效外部噪声强度不同[25]。由于各侦察站接收到信号的等效信噪比不同,此时采用传统的直接定位算法,辐射源定位精度会有所下降。

针对上述问题,本文主要研究噪声功率不一致情况下采用多个移动侦察站对固定目标定位的最大似然估计算法。通常情况下,在讨论噪声时主要讨论噪声为高斯白噪声的情况,现实中存在非高斯白噪声的情况,将噪声简化为高斯白噪声有利于算法建模过程中对数似然函数的简化[25]。以确定性未知信号为模型,分别针对外部噪声统计特性已知和未知两种情况,建立对应的时频域直接定位算法模型,并推导了信号和传输损耗未知时直接定位法的CRLB。与文献[18]的经典直接定位算法相比,本文提出的算法充分利用了脉冲串信号的完备位置信息,通过多个脉冲间的时差频差信息累加,达到更高的定位精度,同时,通过对不同信噪比强度的信号赋予不同的权系数,增加较高信噪比信号的定位贡献,实现对目标辐射源的有效定位。

1 信号模型

第l个侦察站接收到辐射源的第m个脉冲信号为

rl,m(t)=alsm(fl,m(t-tl,m))·

exp{j2πfcβl,m(t-τl,m)}+wl,m(t)

(1)

式中:al为信号到达第l个侦察站的路径损耗;wl,m(t)表示第l个侦察站接收到第m个脉冲信号时的复高斯白噪声;τl,m表示第m个脉冲信号到达第l个侦察站的时间延迟,即

τl,m‖xl,m-p0‖/c

(2)

βl,m表示第m个脉冲信号到达第l个侦察站时的尺度变换因子,即

(3)

考虑到βl,m对信号包络的影响可以忽略不计,将式(1)化简为

rl,m(t)=alsm(t-τl,m)exp{j2πfc(t-τl,m)}·

exp{j2πfl,m(t-τl,m)}+wl,m(t)=

alym(t-τl,m)exp{j2πfl,m(t-τl,m)}+wl,m(t)

(4)

对侦察站接收信号进行采样,得

rl,m(tl,m,nT)=alym(tl,m+nT-τl,m)·

exp{j2πfl,m(tl,m+nT-τl,m)}+wl,m(nT)

n=1,…,N

(5)

式中:N表示各脉冲的采样数;T是采样周期。对式(5)改写,得

rl,m(tl,m,nT)=alym(tl,m+nT-τl,m)·

exp{j2πfl,m(tl,m+nT)}·

exp(-j2πfl,mτl,m)+wl,m(nT)

(6)

结合傅里叶变换相关性质,rl,m可以表示为

rl,m=alDfl,mFHDrl,mFym+wl,m=

Gl,mym+wl,m

(7)

式中

Dfl,m=diag{exp(j2πfl,m(n+(tl,m-τl,m)1N))}

Gl,m=alDfl,mFHDτl,mF

ym=[ym(1),ym(2),…,ym(N)]T

rl,m=[rl,m(1),rl,m(2),…,rl,m(N)]T

wl,m=[wl,m(1),wl,m(2),…,wl,m(N)]T

为了表述方便,定义如下向量

(8)

(9)

Gl=diag[Gl,1,Gl,2,…,Gl,M]

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

综上所述,得

r=Gy+w

(15)

2 定位算法

2.1 噪声一致背景下的直接定位算法

传统的直接定位算法都是假设各侦察站接收的噪声是均值为0、方差为σ2的高斯白噪声。此时,多站时频域ML-DPD算法为

LML(ξ)=λmax(QML)

(16)

式中:λmax(·)表示计算矩阵的最大特征值;QML表示一致噪声下的互模糊矩阵

(17)

其中

(18)

对于矩阵QML,其第(l,k)个元素表示侦察站l和侦察站k的互模糊函数,即

(19)

从式(19)可以看出,噪声一致情况下的ML-DPD算法将各侦察站接收到的信号看作是等价的,没有考虑各侦察站接收到信号的噪声不一致情况。考虑若是将较高信噪比信号对定位的贡献提高,将较低信噪比信号对定位的贡献降低,此时得到的定位结果将会更优。下面将重点研究噪声不一致背景下的直接定位算法。

2.2 噪声不一致背景下的直接定位算法

ξ[Re{yT},Im{yT},aT]T

(20)

式中

(21)

忽略对数似然函数的常数项,则多站相参脉冲串直接定位的对数似然函数为

(22)

求对数似然函数关于y的偏导数,得

(23)

式中

(24)

(25)

(26)

将式(26)代入式(22),得到关于a的函数

(27)

令

(28)

此时,式(22)最大值问题可以转化为

(29)

考虑若将a看作矩阵Q的一个特征向量,此时L1(a)的最大值对应着矩阵Q的最大特征值。式(27)可以表示为

L2(p0)=λmax{Q}

(30)

(31)

(1)利用传统直接定位算法估计目标辐射源的初始位置p0和系统传输损耗向量a;

(2)利用估计得到的目标辐射源初始位置计算时延矩阵G;

(32)

3 克拉美罗界

参数估计精度的理论下界是克拉美罗下界,可以通过费舍尔信息矩阵(FIM)求逆得到,针对噪声一致背景下的直接定位算法,关于ξ的FIM可以表示为

(33)

式中

(34)

得

(35)

式中

(36)

(37)

由于位置信息p0和时间延迟、多普勒频移均有关,因此可得

(38)

式中

综上,得

(39)

观察式(39)可以看出,很难对Jξ矩阵求逆,可以考虑利用分块矩阵的性质对Jξ进行分块处理[26]。本文中,感兴趣的是目标辐射源定位精度,结合式(21),即可以通过计算变量α的FIM矩阵,得到定位精度的CRLB,有效降低了计算复杂度。利用分块矩阵得到仅关于α的FIM矩阵

(40)

式中

(41)

(42)

(43)

(44)

通过对矩阵Ia取逆,即得到关于辐射源位置p0的CRLB。

4 仿真分析

为了充分验证本文所提噪声不一致背景下的多站时频差最大似然估计算法的有效性,本节进行仿真实验。将本文所提的外部噪声特性不一致且噪声参数已知条件下时频域直接定位算法(NWO-DPD)、外部噪声特性不一致且噪声参数未知条件下时频域直接定位算法(UN-NWO-DPD)与文献[18]提出的外部噪声特性一致且噪声参数已知条件下的经典DPD算法(ML-DPD)进行对比,仿真实验的相关参数参考文献[18]设置。

4.1 定位结果对比图

假定观测区域内目标位置为p1=[100,80]Tkm,脉冲重复时间间隔20 ms,带宽10 MHz,脉宽2 μs。接收机分别从x1=[0,0]T、x2=[200,0]Tkm、x=[0,200]Tkm和x4=[200,200]Tkm处沿X轴以300 m/s速度飞行。接收机的采样频率为fs=100 MHz,采样快拍数为N=512,累计观测脉冲数Kp=128。假设1～4号接收机接收信号的信噪比强度分别为-5、-2、0、8 dB。图1分别给出了3种算法定位结果对比。

(a)ML-DPD算法

(b)本文NWO-DPD算法

(c)本文UN-NWO-DPD算法图1 3种算法定位结果对比Fig1 Comparison of localization results of three algorithms

从图1可以看出,3种定位算法中,本文提出的两种噪声不一致背景下的优化算法优势更加明显。无论是在噪声参数已知还是未知的情况下,均能够得到更好的定位效果。图1a中的目标辐射源由于旁瓣干扰,定位结果与真实位置存在一定偏差,同时,在目标主峰周围存在一定数量的伪峰,影响定位精度。图1b和图1c中的目标辐射源位置清晰,定位结果与真实位置一致。其中,NWO-DPD算法仅存在略微的旁瓣影响,而UN-NWO-DPD算法在主峰周围存在有限数量的伪峰,距离主峰较近,和ML-DPD算法相比,伪峰对定位误差的影响较小。两种优化算法通过对不同信噪比下的信号进行加权处理,增加高信噪比信号的权系数值,减少低信噪比信号权系数值。相对于ML-DPD算法,高信噪比信号对定位结果的影响更大,定位结果的表现也就越出色。同时,从整体的定位表现来看,NWO-DPD算法的峰值点也更加突出,旁瓣压制更好。主要是由于NWO-DPD算法是利用真实的噪声方差值进行定位,而UN-NWO-DPD算法的噪声方差值仅能通过估计得到,与真实噪声方差值之间存在偏差。

4.2 定位误差椭圆

图2是在上述仿真条件下,对3种算法进行100次Monte Carlo实验得到的定位结果分布和95%误差椭圆。图中的搜索区域范围为10 m×10 m方形区域,网格点大小为0.02 m×0.02 m。

(a)ML-DPD算法

(b)本文NWO-DPD算法

(c)本文UN-NWO-DPD算法图2 3种算法定位结果分布和95%误差椭圆图Fig.2 Location result distributions and 95% error ellipses of three algorithms

观察图2a可以看出,ML-DPD算法的误差椭圆最大,同时定位均值也离真实辐射源位置较远,为有偏估计。从图2b和图2c可以看出,噪声不一致背景下的优化算法定位结果基本围绕在真实值附近。同时,NWO-DPD算法的定位误差椭圆略小于UN-NWO-DPD算法。其中,NWO-DPD算法定位误差的均方根值为1.863 m,UN-NWO-DPD算法定位误差的均方根值为2.282 m。这主要是由于UN-NWO-DPD算法在对各侦察站接收噪声的方差进行估计时引入了误差。整体来看,本文所提两种算法得到的定位结果均值与真实值保持一致,均为无偏估计。

4.3 观测脉冲数对定位误差均方根的影响

假设观测脉冲数Kp的变化范围是60～180,其余条件同4.1节仿真,3种算法的定位误差均方根及克拉美罗界随观测脉冲数Kp变化的曲线图如图3所示。

图3 3种算法定位误差与克拉美罗界随观测脉冲数变化的曲线图Fig.3 RMSE of three algorithms and CRB vs pulse number curves

从图3可以看出:随着观测脉冲数的提高,3种算法的定位误差均方根均呈现下降趋势;相同观测脉冲数条件下,NWO-DPD算法的定位精度最高,ML-DPD算法的定位精度最低;随着观测脉冲数的提高,NWO-DPD算法的定位误差均方根逼近CRB。通过以上分析可以看出,在信噪比较低且算法定位效果不理想时,可以通过提高观测脉冲数有效提高定位精度。

4.4 信噪比对定位误差均方根的影响

假设1-3号接收机接收信号的信噪比强度分别为-5、-2、0 dB,4号接收机信噪比从-10 dB变化到15 dB,其余条件同4.1节仿真,3种算法的定位误差均方根及克拉美罗界随信噪比变化的曲线图如图4所示。

图4 3种算法定位误差与克拉美罗界随信噪比变化的曲线图Fig.4 RMSE of three algorithms and CRB vs SNR curves

从图4可以看出:噪声不一致背景下的优化算法定位精度明显优于ML-DPD算法;在信噪比变化范围内,随着信噪比提高,定位精度有效降低;当4号侦察站信噪比在0 dB附近时,3种定位算法的定位精度均提高较为明显;当信噪比高于10 dB之后,即使信噪比提高,ML-DPD算法的定位精度变化不明显,与其他两种算法相比,定位精度差距较大。整体来看,4号侦察站信噪比相同时,NWO-DPD算法定位误差最小,并且在信噪比较高时,定位精度逼近CRLB。

5 结 论

(1)本文针对外部噪声参数已知和未知两种情况,提出了噪声不一致背景下多站时频差最大似然直接定位算法。

(2)算法充分利用了脉冲串信号的位置信息,实现了多个脉冲间的时差频差信息累加,同时给高信噪比信号赋予更高的权系数,有效提高了定位精度。

(3)本文算法与传统的直接定位算法相比,在信噪比较低时,能有效抑制旁瓣高度,控制伪峰数量,定位误差较低。

(4)NWO-DPD算法利用真实的噪声方差值进行定位,在相同条件下,可以取得比UN-NWO-DPD算法更优的定位效果。

(5)仿真实验进一步验证了本文算法在高信噪比条件下可以逼近克拉美罗界。