王兴隆，石宗北，陈仔燕

中国民航大学 空中交通管理学院，天津 300300

近年来，随着民航运输业的不断发展，航线数目的增加造成了航线网络的密集化及空域复杂度的提升。从保障运行安全的角度出发，研究空中交通网络在受扰动时可承载的运输能力下降幅度及恢复时的变化情况具有重要意义。复杂网络作为网络科学的重要分支对空中交通网络的研究提供了有力的方法支持。国内外有关学者通过复杂网络的有关理论对空中交通网络进行了深入的研究。武喜萍等[1]通过一日的实际运行数据研究了空中交通流量网络的拓扑特性、抗毁性及延误传播；李善梅[2]基于复杂网络理论实现了对空中交通运行态势的识别及预测；Pien等[3]通过构建欧洲空中交通网络对欧洲航空网的鲁棒性进行了分析；Xu和Harris[4]通过对美国航空运输网络进行研究得出了空中交通网络具有小世界特性；王兴隆等[5]通过构建多层网络研究了机场网络与管制网络之间的相依关系；张军等[6]以中国机场为节点，各机场之间的起讫节点对为边构建网络进行实证分析，证明了网络中的交通流量呈上涨趋势且具有一定的季节性；陈娱等[7]以加权介数中心性作为网络可靠性测度指标对中国空中交通网络进行了研究。

目前，对空中交通网络的研究内容主要围绕网络自身的结构功能特性及受扰动状态下的运行情况展开，鲜有对扰动后网络恢复能力的研究。韧性作为系统的一种属性，可以较好的表现复杂系统预测、吸收、适应以及从破坏性事件中恢复的能力[8]。韧性研究已经在生物结构、电力系统、指挥信息系统、城市交通等多个领域展开[9-12]，主要研究方法是通过观察全局拓扑特征(中心性指标、小世界特性、幂律分布特性)和网络受扰动及恢复过程中网络指标(最大连通子图、网络效率)等的变化情况进行分析。然而，不同的局部结构会对网络整体的表现产生很大的影响，具有相似全局结构的网络之间也可能由于功能或生成机理的不同反映出不同的局部特征。Milo等[13]首次提出模体的概念，定义为在网络中反复出现的节点之间的连接结构。Schultz等[14]证明了网络的鲁棒性及稳定性与网络中的低阶子图结构有关；Gorochowski等[15]的研究结论表明网络中各低阶子图结构的相互协调并实现集体性功能的具体过程。现有研究仅关注网络正常运行状态及受到扰动后局部结构与整体的关系，忽视了扰动结束后整体及局部结构的恢复过程。

空中交通网络与电力系统、社交网络类似，具有小世界、度分布服从幂律分布等特性[16-18]，但是空中交通网络在演化规律性、动态性及网络容量有限性等方面与其他网络也存在一定的差异[19-20]。目前，对空中交通网络的研究大多只关注网络的宏观表现，对构成网络的局部子图结构的研究较少；韧性有关研究也只针对涉及地面交通、电力、军事等系统的宏观变化，尚无对空中交通网络局部子图结构韧性的研究。

在已有研究的基础上，对构成空中交通网络的3、4节点子图的模体特性进行辨识并分析其与网络连通性需求的关系，结合韧性理论首次提出子图结构韧性的概念以研究空中交通网络在“扰动-恢复”这一过程中子图结构的变化规律。该研究对揭示空中交通网络宏观及局部之间的关系、节点之间的连接偏好、网络的演进规律性均具有一定的意义。

1 空中交通网络子图模体特性识别

1.1 空中交通网络构建

空中交通系统的功能是保障空中交通运输的安全高效运行，这一保障过程主要在空中交通网络中实现。目前空中交通网络主要是以机场为节点，通航的两机场之间的航线作为边进行建模。这种建立网络的优点是可以直接的反映出各机场之间的连通情况以及航线的总体分布情况。然而这种端到端的网络构建方法未将航路中的导航台节点对航线正常运行的影响纳入考虑范围。因此本文以机场及航路点为节点，以节点之间的航段为边构建网络。为了便于研究，做出如下处理及假设：

1)构建的空中交通网为无向无权网络；航路节点为空中交通网络中的强制报告点。

2)因研究不涉及国际航线，删除边境交接点及其所连接的最后航段。

3)为了将机场更好的与航路点相连接，参考各机场的飞行程序(标准进场、标准离场、仪表进近等),将机场点与相应的进离场、进近导航台相连，建立邻接矩阵。

构建网络模型时，用邻接矩阵A=[aij]M×M表示个节点的连接关系，若节点i与节点j有连边，矩阵中aij=aji=1，否则aij=aji=0。

1.2 空中交通网络子图结构

空中交通网络的底层拓扑结构中存在构成网络的子图结构。在本文的研究中，将低阶子图结构(3、4节点子图)视为构成空中交通网络并承担交通流转移功能的最小结构单元。通过低阶子图结构的不断连接与重组构成空中交通网络，作为民航运输的拓扑载体。

对于空中交通网络，N=3及N=4的节点连接情况类型可由图1表示。

图1 3、4节点子图结构示意图

子图结构作为实现网络功能的最小单元，通过不同的连接模式满足空中交通网络的实际运输需要。对于3节点子图结构，3-(1)代表的含义为两不直接通航的节点分别与另一节点相连接，3-(2)表示3个航路网节点分别两两相连。对于4节点子图结构，4-(1)的子图结构代表了影响力较大的节点直接与另外3个不直接相连航路点分别连接，此种子图结构中的中心节点一般为3条航路的交叉点；4-(2)类子图结构在空中交通网络的内涵为2个相连的航路网节点分别与另外2个不直接连通的节点相连；4-(3)类子图结构反映了在4个航路节点中，每个节点有且仅有2个其他节点与之相连。4-(4)类子图结构可以视作3-(2)结构的子结构与一个孤立航路点相连接；4-(5)类子图为除某2个航路点不直接连通外，子图中的4个节点全部两两相连成航段，同理，4-(5)类子图结构可视为2个3-(2)规模的子图结构拥有一组共同边(航段)；4-(6)表示节点网络中的节点互相全连接。

1.3 子图结构模体特性

模体是在真实网络中反复出现的子图的连接形式，通过相互协调、相互作用对网络整体结构及性质产生较大的影响。在空中交通领域，子图结构的模体特性可视为网络构建过程中的衍生结构，其并不具备特殊的物理含义。具有模体特性的子图结构同其他异构子图一样，仅作为一种子图结构承担交通流的转移功能，但在一定程度上模体特性刻画了各空中交通节点之间潜在的连接偏好与网络的实际结构需求，可作为空中交通网络构建的结构评判标准。

由于子图的连接模式随着节点个数的增加而迅速增加，对子图结构模体特性的研究主要集中在3节点与4节点两类。且高阶子图可以视为3节点与4节点子图的组合，因此3节点与4节点构成的子图结构对于网络整体的特性与组成结构有着较大的影响，本文也将以子图规模为N=3和N=4的两类子图为研究对象进行模体辨识。

空中交通网络的模体辨识方法主要由随机网络生成、子图搜索以及模体特性评价3个步骤组成。

步骤1随机网络生成。模体特性的辨识是通过子图在真实网络与大量随机网络出现频次多少的比较得出的，因此为了辨识空中交通网络的模体特性，首先需要生成与真实网络规模一致、且度分布相同的随机网络。该类随机生成网络可由交换算法、匹配算法等方法[21]得到。

步骤2子图搜索。分别在真实网络和生成的随机网络中识别特定的导出子图，确定并归类是否是同构子图。识别图结构是否同构是一个NP-hard问题，常用的子图方法有子图枚举(ESU)算法、边采样算法(ESA)、穷尽递归[22-23]等算法。

步骤3模体评价。模体评价一般通过定义子图结构在真实网络中出现的显著性水平。其显著性水平Zk一般由式(1)得出:

(1)

2 空中交通网络子图结构韧性

韧性是系统的一种属性，它同时表征系统受到扰动时，结构及功能的下降程度以及在扰动过后系统自我恢复的能力。空中交通网络的韧性体现了网络在如恶劣天气、军事演习等特殊事件下的影响下，因受到扰动导致部分导航台节点或机场节点失效，影响航班流正常运行的网络性能的下降过程以及在扰动过程结束过后，节点陆续由失效变为正常运行状态，网络逐渐恢复运行的扰动恢复过程。目前对韧性系统的研究主要分析扰动-恢复过程中网络整体的变化情况[24-26]，这一过程的研究较好地从宏观角度对网络进行评估，但不能准确描述网络局部结构有效应对风险扰动保障正常运行的能力。

2.1 网络韧性

空中交通网络中的节点在恶劣天气、军事演习、遭受攻击或者运行环境发生变化后，通过一次韧性过程进入一个暂时不变的“稳态”，具体表现为网络失效与故障恢复2个阶段：首先是网络受到干扰后节点失效网络整体性能下降、民航正常运输需求难以得到正常保障的网络失效阶段；以及采取恢复措施后网络中节点陆续恢复正常运行直至系统重新达到相对稳态的网络恢复阶段。网络韧性过程可由图2表示。其中：t0为初始时刻，t1时刻网络受到扰动，t2时刻网络性能降至最低点，t3时网络恢复正常运行状态。

图2 网络韧性过程示意图

在t0～t1过程中，网络保持正常运行状态，其初始网络性能值记为Wp，在t2时刻，网络受到扰动节点陆续失效，导航台节点或机场节点的失效造成网络功能的下降，航班正常通行受阻，直至t2时刻空中交通网络达到性能最低值Wmin。t2～t3时刻网络中的失效节点逐渐恢复正常运行直至达到稳态系统韧性水平,可由式(2)进行计算：

(2)

式中：L为韧性过程中网络性能的累计损失值。设初始状态下空中交通网络性能为Wp，在t1时刻网络发生扰动，直至降至最低值Wmin，网络在t3时刻重新到达稳态。其中，t时刻网络的性能值为φ(t)。式(2)可以较好地反应网络从受扰动到重新恢复稳态的损失值。L越小，在韧性过程中系统损失越小，表现出较好的韧性。

2.2 子图结构韧性

本节基于子图浓度的变化情况对子图结构韧性进行定义，以刻画不同的子图结构抵御网络扰动并迅速恢复的能力。不考虑与随机网络中子图结构出现次数的对比，子图浓度仅仅对空中交通网络中的同等规模不同连接模式的各子图结构的分布及变化情况进行考虑。

定义1子图相对浓度：子图相对浓度为相同时间窗下，同等规模的各异构子图结构在空中交通网络中所占的比例，计算公式如式(3)所示:

(3)

式中：Ck为N个节点规模下第k个子图结构的子图相对浓度；Nk为该构型子图出现的次数。

同等规模的各异构子图结构之间的相对分布情况，与子图结构在网络中的绝对数目无关。对比子图相对浓度随时间的波动情况可以作为网络韧性过程的微观结构度量指标。子图相对浓度波动越大，则网络在扰动-恢复过程中内部变化越剧烈，恢复到网络初始状态的过程中韧性损失更大；子图相对浓度曲线较平滑，则说明网络韧性过程中网络结构整体变化平稳，有着更好的韧性。

定义2子图剩余浓度：子图剩余浓度是在网络受到扰动及自我恢复的过程中，网络中某种子图结构在t时刻自身数量与初始时刻网络整体子图数量的比值，可由式(4)表示：

(4)

子图相对浓度指标仅能定性的对网络中各子图数量的相对变化趋势进行测度，而子图剩余浓度Rk可以对空中交通网络受到攻击及自我恢复的过程中，各异构子图的数目变化情况进行描述，准确反映出同一类型的子图结构随整体网络结构的变化趋势。

定义3子图结构韧性：子图结构韧性是各子图结构抵御网络扰动并迅速恢复的能力。其值可由式(5)表示:

(5)

值得注意的是，网络中的子图浓度仅仅反应了真实空中交通网络中各异构子图出现的数目，是空域环境、地域发展水平、交通运输需求等多条件约束下的网络的真实状态。与同等规模相同度分布的随机网络相比较得出的子图结构(反)模体特性才反映网络内在演化的规律性[27]。

3 实证分析

本文对中国最繁忙空域之一的华东空管局所辖航路及华东地区各机场进行建模，构建华东地区空中交通网络。华东地区空中交通网络共计171个航路点，262条航路，构成的华东地区空中交通网络及其拓扑示意图分别如如图3和图4所示。图4中，节点度值大小可由颜色深浅及节点大小定性显示，若节点越大，颜色越深，则该节点在网络中度值越大。

图3 华东空中交通网络图

图4 华东空中交通网络拓扑结构示意图

3.1 空中交通网络模体特性分析

采用交换边的方法构造出10 000个与真实的空中交通航路网规模、度值相同的随机网络，并用穷尽递归搜索方法对真实网络及随机网络中出现的N=3及N=4的各类子图数量进行统计，依式(1)进行计算得出各类子图结构的模体显著性评价指标值Z。各子图结构的模体特性及含义如表1所示。

研究表明3节点规模的子图结构中的3-(2)及4节点规模中的4-(3)、4-(4)、4-(5)呈现出模体特性，即在华东地区空中交通网络构成中，该类节点的出现相比于相同度分布的随机网络具有显著性(Z>0),而3-(1)、4-(1)、4-(2)呈现出反模体特性。由于网络中不存在四阶全连接的子图结构，因此无法识别4-(6)子图的模体特性。

由于航路设计的主要目的是在保障安全运行的前提下尽可能的提高网络的连通性以确保航班流的正常运行，因此理想的空中交通网络应在各航路点(机场)之间连通更多的航段以产生高连通性的网络。对于特定规模的拓扑结构而言，其功能连通性将随着节点间连接紧密程度的增加而提高。在N=4的子图结构中，依连通性降序排列应有：4-(6)>4-(5)>4-(4)=4-(3)>4-(2)=4-(1)。

据此分析，具有中等及高等连通性的子图结构相比于随机网络应更多的出现在空中交通网络中，即呈现出模体特性；而功能连通性较低的子图结构出现频次应比随机网络中少。因此4-(3)、4-(4)、4-(5)、4-(6)应呈现出模体特性且显著性与连通性成正向相关；而4-(1)、4-(2)应表现出反模体特性。除4-(6)外，对比表1中所得出的结果具有一致性。4-(6)类子图结构有着最高的连通性，因此在实际的运行过程中会产生航路的冗余造成资源浪费，航段的增加同时增大了进近与区域管制员的工作负荷，且在一定程度上4-(6)类型的子图结构在现实中往往受到地理空间的约束，所以在华东空中交通网络中不包含4-(6)类型的航段结构。从局部拓扑的角度而言，华东地区空中交通网络有着较好的功能连通性，且设计布局较为合理。

表1 华东空中交通网络模体特征

3.2 子图结构韧性分析

设华东地区空中交通网络在t=0～2时刻处于正常运行状态，自t=2时刻起每过一个时间周期依照节点指标值由大到小的顺序对网络中10%的节点进行移除直至t=7时刻网络中仅有50%节点为正常运行状态。自t=7时刻起，网络依照节点指标值由大到小的顺序依序恢复，设每个时间周期10%的节点恢复正常运行状态，t=12时网络恢复正常运行，结束一次韧性过程。本文选取度值和介数作为节点攻击-恢复的参考指标。根据攻击节点及恢复策略的不同分别对度值攻击-度值恢复、度值攻击-介数恢复、介数攻击-度值恢复、介数攻击-介数恢复4种情况下的空中交通网络韧性进行了研究。

3.2.1 子图相对浓度变化

华东空中交通网络在4种不同的攻击—恢复策略下网络中N=4各异构子图结构的子图相对浓度值变化情况如图5所示。

图5 子图相对浓度变化示意图

由3.1节中结论可知，对于理想的空中交通网络，功能连通性较高的子图相对浓度值应大于功能连通性较低的子图。而在真实空中交通网络网络的整个韧性过程中，子图相对浓度的变化呈现出与理想情况不一致的结果。具有较低连通性的子图结构4-(1)及4-(2)在网络的整个变化过程中均占有着较高的子图相对浓度，是构成华东空中交通网络的主要结构，且子图结构4-(2)在网络中占有最高的比例。其次为子图结构4-(4)和4-(3)，具有较高连通度的子图4-(5)则在真实网络中出现频次最少。因此，真实的空中交通网络构成是以大量的较低连通性的子图结构(4-(1)、4-(2))为基础，通过部分中等连通性子图结构(4-(3)及4-(4))和少部分高等连通性子图结构(4-(5))提高网络整体连通性水平。

在4种不同的攻击-恢复模式下，空中交通网络的各异构子图相对浓度值在网络中所占比例变化较小。在t=7～9时刻，网络由受扰动阶段逐渐转为恢复阶段，此时各异构子图相对浓度值产生较明显的波动，说明尽管各子图结构在网络的韧性过程中的比例分布相对固定，但对于网络整体的变化模式(网络破坏、网络生成)有着较明显的反应。

在网络受扰动失效过程中，子图结构在基于介数的攻击策略和基于度值的攻击策略下均呈现出一定的波动。在以度为指标对网络进行攻击时，在t=2～4时刻各子图相对浓度发生了一定的变化，后逐渐趋于稳定，是由于子图4-(1)及4-(4)中均有度值为3的节点，因此在整体网络中度值较大的节点依次失效时主要对子图结构4-(1)及4-(4)产生影响，造成网络韧性过程初期4-(2)相对浓度值上升，4-(1)、4-(4)相对浓度值下降。在以介数为指标对网络进行攻击时，子图4-(2)浓度值呈现出下降后上升的趋势，子图4-(4)的相对浓度值先上升后下降。当对介数较大的节点进行攻击时，相比于其他类型子图，子图结构4-(2)相对数量衰减速度更快，即介数较大的节点对网络结构4-(2)的构成有着一定的影响而介数较小的节点对于结构4-(2)影响较小，更多的是对4-(3)和4-(1)产生影响，因此在t=5～7时刻，子图结构4-(1)及4-(3)相对浓度值下降。

在网络恢复的过程中，5种子图结构相对浓度随时间的增长逐渐趋于稳定，在网络演化的后期，相对浓度值曲线更是与时间轴趋于平行，表现出华东地区空中交通网络结构网络的恢复过程逐渐趋于稳定。不同于网络失效过程，由图5可知，基于度恢复策略的网络结构比基于介数恢复策略的网络更早的进入相对稳定状态且产生更小的波动，即网络在相同结构的情况下，采取节点度指标作为网络恢复策略会给整体网络带来更少的结构波动。

3.2.2 子图剩余浓度变化

华东空中交通网络在4种不同的攻击-恢复策略下，网络中N=4各异构子图结构的子图剩余浓度值变化情况如图6所示。

由图6可知，基于度值的网络攻击模式下，t=2～3时刻过程中，网络中各子图结构剩余浓度迅速下降，在t=3～6时刻，网络内子图结构的剩余浓度值以相对较低的速率下降且每个阶段下降幅度相差不大。在移除了40%的节点后，网络内剩余子图浓度已经处于较低水平，此时各子图结构数量几乎不再降低，说明在网络中对度值大的节点进行移除时，华东地区空中交通网络各子图结构会受到较大的影响，对于度值排序在10%后的节点相对不敏感。相比于度值攻击策略，基于介数的网络扰动模式下，网络中子图结构剩余浓度下降趋势略慢，在t=2～4时刻下降相对较快，在t=4时刻之后剩余浓度值下降速度降低。因此，在华东空中交通网络的整个韧性过程中，基于度值的攻击策略会比基于介数的攻击策略对局部拓扑结构带来更大的韧性损失。

图6 子图剩余浓度变化示意图

对比图6(a)和图6(b),对基于度值攻击模式下的网络分别进行依度值和依介数2种恢复策略，在初始恢复时，2种恢复策略均对子图结构剩余浓度增长速度作用有限，在t=8之后，网络各子图结构的剩余子图浓度值增长速度加快直至整个网络恢复正常运行。其中：基于度值的恢复策略中子图剩余浓度值的增长速度略快于介数恢复策略。对比图6(c)及图6(d),对基于介数攻击策略的网络进行恢复时，度值恢复模式相比于介数恢复模式有着明显的优势，各子图结构剩余浓度迅速提高，对应于网络中各异构子图的迅速恢复。因此，在华东地区空中交通网络中，优先选取节点度值作为恢复策略能更快的对网络中的局部结构进行恢复，有着更小的韧性损失。

3.2.3 子图结构韧性及网络韧性对比

依式(5)对华东空中交通网络不同攻击-恢复模式韧性过程中的子图剩余结构韧性损失进行计算。结果如表2所示。

表2 网络韧性损失值

结果表明，介数-度值策略过程下网络中子图结构的韧性损失最小，即各子图结构在网络整体的演化过程中变化相对平稳，受到波动较小且可以较快的恢复网络结构。度值-介数策略对网络的子图结构产生较大的影响，其韧性损失值在4种策略过程中最高。在同等的攻击模式下，基于度值对受扰动的网络进行恢复效果更好。而基于介数的网络攻击会对网络造成较小的影响，各子图结构能保持较好的韧性。同时，本文以网络最大连通子图为整体结构指标，采用式(2)对网络整体的韧性进行计算。可以看出基于介数的攻击策略会给网络带来相对较小的韧性损失，较度值攻击策略而言在移除同等数目节点情况下网络整体结构及功能受到较小的影响。网络状况相同条件下采用度值恢复策略可以使网络维持更好的韧性，系统整体将以更少的代价恢复稳态。对比子图结构韧性和网络整体韧性，可以发现子图结构表现出的韧性特性与网络整体韧性基本一致，在一定程度上子图结构韧性可以反映出网络整体的韧性变化。但在基于度值的攻击策略下，采取度值恢复策略所需的网络韧性损失略大于介数恢复策略，与子图结构韧性损失指标呈现出一定差异。一方面网络整体韧性除了受子图结构等局部拓扑性质的影响，也与网络系统冗余度，运行连通及可靠性、空域环境及运输需求等功能特性要素有关；另一方面如图6(a)和图6(b)所示，2种不同的恢复策略在网络的恢复过程中子图剩余浓度变化情况近似，且各子图结构韧性损失值相近。因此，在其他因素的作用下网络整体表现出的韧性损失为度值-度值过程略大于度值-介数过程。

4 结 论

对空中交通网络子图结构进行了模体识别；提出子图浓度及子图结构韧性的概念，对韧性过程中空中交通网络子图结构的变化情况进行了研究；最后以华东地区空中交通网络为例进行了实证分析。结果表明：

1)具有较高连通性的子图结构在空中交通网络中表现为模体特性，较低连通度的子图结构表现为反模体特性。

2)空中交通网络是以大量的较低连通性的子图结构为基础，通过部分中等连通性子图结构和少部分较高连通性子图结构提高网络整体通行能力。各子图结构相对浓度值较为稳定，在网络由受扰动状态转变为网络恢复的过程中子图相对浓度值有一定程度的波动。

3)在空中交通网络中，子图结构剩余浓度可以较好的反映各子图结构随网络整体韧性过程的变化，子图结构韧性可以对网络韧性过程中结构损失进行定量评价。

4)结合子图结构及网络整体韧性结果，介数攻击对网络产生的影响较小，相同网络结构下度值恢复策略能以较小的韧性损失使网络恢复为稳态。

5)子图结构与网络整体之间在韧性过程中的损失表现存在着一定的一致性。

本文从宏观及微观的结构角度对空中交通网络韧性进行评估，未对流量及功能韧性进行研究，未来将对空中交通网络的功能韧性及韧性过程下航班流的分配做进一步的研究。