朱惠英,赵继源,何男,王文义

(南宁师范大学 数学与统计学院，广西 南宁 530100)

1 问题的提出

《义务教育数学课程标准(2011版)》指出，应当注重发展学生的运算能力，使其更好地解决问题[1]。数学运算能力是数学学科的重要基础，而心算在学生的数学运算过程中，发挥着重要的作用。在很大程度上，学生的心算能力体现其运算能力。

心算是指不使用任何外部工具，主要依靠大脑的思维、记忆直接算出得数的计算方式。而大脑的工作记忆，为心算过程提供了暂时性存储和加工功能。所以在影响心算的众多因素(如感知注意、知识经验等[2])当中，工作记忆是一个重要的影响因素。许多研究都验证并深入探究了这一点，但总结以往的研究发现，工作记忆对心算的影响研究的研究对象偏向于小学生[3,4]或20至79岁的成人[5]，且心算任务偏向于小学的整数加减法运算。

如果把研究对象聚焦到处于数学运算能力发展的关键时期——义务教育阶段的学生，把心算任务聚焦到义务教育阶段的基本运算内容，如整数和小数四则运算、方程的运算、无理数的运算等，那么我们自然会问：(1) 工作记忆各要素如何影响学生的心算？(2) 工作记忆在不同年级学生心算中的表现有何差异？(3) 工作记忆在不同层次学生心算中的表现有何差异？本文将从工作记忆负载水平的视角，对上述三个问题进行探索。

2 本研究的相关概念

2.1 心算与心算能力

本调查中，学生的心算是指学生不在头脑以外任何地方留下演算痕迹，看着数学计算题，只经过头脑思考，直接将最终答案写出来的计算方式；学生的心算能力通过学生的心算测验成绩来衡量，即其做对题数与整套试题的题数之比。

2.2 工作记忆负载水平

(1) 心算任务

工作记忆研究的一个主要方面为工作记忆广度，即工作记忆容量。国内外许多的研究都采用了数字工作记忆广度任务[3]考察工作记忆。数字工作记忆广度任务是指，让被试尽可能正确计算并依次回忆所给定的10以内加减法计算题(如3+2=？、6-3=？)的结果，实验从1道计算题开始，逐渐增加题数，直到被试在所给的某几道题中错了2次时测验结束。这样的心算任务仅局限于考察学生的简单加减计算能力和工作记忆广度，并不能深入了解工作记忆在学生实际数学运算(如复杂加减法、方程等的计算)中的表现。因此，我们采用各年级的基本数学运算题作为心算任务。

(2) 试题所体现的工作记忆负载水平

工作记忆由视空间模板、语音环路、情节缓冲器和中央执行系统四部分组成[4]，是对信息进行暂时性存储和加工(以下称为操作)的容量有限的系统。所以，我们可以从对心算中间结果的暂时性存储和操作这两个过程来分析心算过程给学生带来的“负担”。因此，在衡量心算试题所需的工作记忆负载水平[3]时，我们考虑用同一时间内学生所需记忆的最大单元总个数M与完成一道心算试题过程中对工作记忆单元进行操作的总次数P之和，即M+P的值，来衡量试题的工作记忆负载水平。

例如小学心算“17×4=？”，同一时间内学生所需记忆的最大单元总个数M为2，即记忆中间结果进位的2和个位8；所需的操作总次数N为1，即进行一次操作“2+1×4=6”，此时M+P=3。又例如初中心算“解方程：(x+2)2=25”，同一时间内学生所需记忆的最大单元总个数M为1，即记忆中间结果±5；所需的操作总次数N为2，即进行两次操作“+5-2=3”和“-5-2=-7”，此时M+P=3。

3 研究过程

3.1 调查对象与手段

本次调查选取南宁市一所普通小学三、四、五年级以及南宁市一所普通初中七、八、九年级各一个班级的学生参与心算测试，共266名学生。将每个班级平时数学成绩(期中成绩与期末成绩的平均成绩)前20%的学生划为优等生，后20%的学生划分为学困生，其余划分为中等生，以便进行数据分析。在参与心算测试的学生中每年级选取6名学生(优等生、中等生和学困生各2名)进行心算测试的访谈。

3.2 测试题与访谈方案的设计

由于没有现成的满足测试需求的权威量表，本次测试根据《全日制义务教育数学课程标准(修改版)》以及所要调查年级学生的数学知识学习进度，编制了6套测试卷，即三、四、五、七、八、九年级的心算测试卷及访谈提纲各一份。

(1)试卷设计特点：(a) 为了适应学生的心理特征，心算测试题的编排顺序大致是由易到难的顺序。心算测试卷限定在15分钟以内完成，每份试卷指定题目与题数。(b) 为比较各年级的心算表现，三、四、五年级保留一定的相同题目，初中七、八、九年级也保留一定的相同题目。各年级测验试卷的克隆巴赫α信度系数都在0.7以上，表明测验具有较好的信度，且测验试卷的KMO值在0.637至0.761之间，表明各负载水平测验试题之间的相关性较强，原有试题负载水平这一变量适合作因子分析。

(2)访谈设计特点：(a) 访谈紧接心算测试之后，对一名学生的访谈时间限定在5分钟之内。(b) 访谈对象为心算测验中的6名不同层次的学生。(c) 访谈内容为学生作答部分关键心算试题的具体心算步骤及答题中遇到的困难。

3.3 实施过程

(1)心算预测试

调查小组对各年级被选班级进行心算测试后，统计每份试卷的正确率与所用时间；对学生认为过于简单和过于困难试题进行适当改动，确保试卷的信度与效度；对预测试流程中不合理的环节进行适当调整与完善。

(2)心算正式测试

将各年级的被试学生在约定的测试时间集中起来，之后发放不同年级的测试卷，并用秒表开始计时15分钟，时间到即停止答题并收回测试卷。

(3)心算访谈

全班学生心算测试完毕后，紧接着对其中的6名不同层次的学生进行心算访谈，并全程录音。

(4)数据的收集与整理

将全体被试学生作答的测试试卷和访谈录音按年级进行收集整理，并剔除无效数据。之后将学生填写的答案录入Excel表格及spss25软件，以统计和分析学生的作答情况。

4 研究结果

经测验和访谈，我们了解到学生心算试题的具体步骤及其工作记忆过程。对某些试题，由于运算习惯的不同，学生心算的工作记忆过程不尽相同。所以我们采用大部分学生心算试题的具体步骤、工作记忆过程以及答题情况来确定M+P的值，并将M+P的值划分为三个等级，分别代表三个工作记忆负载水平。具体分法如下。

维度一低负载水平：0≤M+P≤2，0≤P≤1；

维度二中负载水平：2

维度三高负载水平：4

同一负载水平的心算试题给学生带来的工作记忆“负担”是相近的，因此可以通过计算同一负载水平试题的平均准确率来反映学生在某一负载水平试题的表现情况。

4.1 M+P水平在不同层次学生中的差异

(1)M+P水平在小学同一年级不同层次学生中的差异

表1 方差齐性检验a

表2 Kruskal-Wallis检验a,b

以三年级为例，该年级所测班级有39人，其中优等生9名，中等生23名，学困生7名。分别对三个维度上不同层次学生的准确率进行方差齐性检验。由表1可知：在低负载和中负载题目上，不同层次学生心算准确率方差不齐，故采用非参数检验Kruskal-Wallis检验法，旨在从三个维度上分别进行不同层次学生的心算准确率差异分析。

由表2 Kruskal-Wallis检验得知：对于低负载水平的题目，不同层次学生的心算准确率之间有显著性差异(χ2=9.988，p=0.007<0.05)；对于中负载水平的题目，不同层次学生心算准确率之间具有显著性差异(χ2=14.667，p=0.001<0.05)；对于高负载水平的题目，不同层次学生心算准确率之间没有显著性差异(χ2=3.658，p=0.161<0.05)。为了进一步明确不同层次学生在低负载水平上的差异与在中负载水平上的差异，进行Games-Howell多重比较。结果如表3。

表3 Games-Howell多重比较

表3结果表明：在低负载水平的题目上，优等生与中等生在5%的显著水平上没有显著差异(μ=0.966,p=0.338>0.05)，中等生与学困生之间没有统计学差异(μ=0.943，p=0.094>0.05)，优等生与学困生之间有显著性差异(μ=0.835,p=0.046<0.05)；对于中负载水平的题目，优等生与中等生心算准确率之间没有显著性差异(μ=0.873，p=0.290)，中等生与学困生心算准确率之间有显著性差异(μ=0.789,p=0.018<0.05)，优等生与学困生心算准确率之间有显著性差异(μ=0.429,p=0.006)。

对三年级不同层次学生在各维度上的平均准确率进行统计，得到图1。由图1可知：随着负载水平的升高，各层次学生的心算准确率在不断下降。其中，优等生和中等生在中负载水平到高负载水平题目上的准确率降幅较大，学困生在低负载到中负载题目上的准确率降幅最大。优等生和中等生的心算准确率始终没有明显的差别；学困生与中等生在低负载水平、高负载水平试题上的心算准确率均没有明显差别，但在中负载水平试题上的心算准确率有明显差别。

图1三年级不同层次学生在不同负载题目上准确率的对比

(2)M+P水平在初中同一年级不同层次学生中的差异

表4 方差齐性检验a

以九年级为例进行不同层次的学生准确率的方差分析，该年级所测班级有学生38人，其中优等生7人，中等生23人，学困生8人。

由表4得知：在三个维度上，不同层次学生心算准确率的方差都满足齐性要求，因此可以分别对各维度上不同层次学生进行ANOVA方差分析。由表5 ANOVA方差分析结果知：对于低负载水平的题目，不同层次的学生心算准确率之间具有显著性差异(F=6.971,R2=0.410,p=0.003<0.05)。对于中负载水平的题目，不同层次的学生心算准确率有显著性差异(F=5.489,R2=0.394,p=0.008<0.05)。对于高负载水平的题目，不同层次的学生心算准确率之间也具有统计学差异(F=6.430,R2=0.284,p=0.004<0.05)。根据效应量R2得知：随着负载水平的升高，不同层次学生心算成绩的差异更为显著。

表5 ANOVA方差分析a

表6的结果表明：(1) 对于低负载水平的题目，优秀生、中等生和学困生心算准确率之间都有显著性差异(p均小于0.05)。(2) 对于中负载水平的题目，优秀生和中等生心算准确率之间有显著性差异(p=0.005<0.05)，学困生与优秀生之间具有统计学差异(p=0.005<0.05),学困生与中等生之间心算准确率没有统计学差异(p=0.590>0.05)。(3) 对于高负载水平的题目，优秀生和中等生心算准确率之间有显著性差异(p=0.002<0.05)，学困生与优秀生之间具有统计学差异(p=0.005<0.05),学困生与中等生之间心算准确率没有统计学差异(p=0.811>0.05)。

表6 LSD多重比较

对九年级所测班级不同层次学生在不同负载水平题目上的平均准确率进行统计，得到图2。由图2可知：随着负载水平的升高，各层次学生的心算准确率在不断下降。其中，中等生在低负载水平到中负载水平题目上的准确率降幅最大。中等生与学困生在低负载水平上的心算准确率差距较大，到高负载水平时中等生与学困生心算准确率没有明显的差别。

图2九年级不同层次学生在不同负载题目上准确率的对比

4.2 M+P水平在不同年级学生中的差异

(1)M+P水平在小学不同年级学生中的差异

为分析M+P水平在小学不同年级学生中的差异性，统计小学三个年级每一个工作记忆负载水平所有试题的平均准确率，并将三组数据导入spss25.

对三组数据进行方差齐性检验发现方差不齐，故采用Kruskal-Wallis H检验，如表7、表8。结果表明：(1) 三、四、五年级在低负载水平的题目上没有统计学差异(H=0.465，p=0.793)，根据秩次得知三年级准确率最高，五年级准确率最低(r三=63.36，r四=66.98，r五=61.83)。(2) 三、四、五年级在中负载水平的题目上有显著性差异(H=6.327，p=0.042)，根据秩次得知三年级准确率最高，五年级准确率最低(r三=71.31，r四=69.00，r五=53.24)。(3) 三、四、五年级在高负载水平的题目上有显著性差异(H=17.606，p=0.000)，根据秩次得知四年级准确率最高，五年级准确率最低(r三=67.38，r四=79.29，r五=47.17)。(4) 值得注意的是，在各负载水平题目上，五年级心算准确率均为最低；高负载水平的试题上，四年级准确率高于三年级。

表7 秩和检验

表8 检验统计a,b

(2)M+P水平在初中不同年级学生中的差异

分别对在低、中、高负载水平上不同年级的学生准确率做方差齐性检验。由表9可得：在三个维度上不同年级学生心算准确率的方差都满足齐性要求。因此可以分别对在低、中、高负载题目上不同年级的学生心算准确率进行单因素方差分析。

表9 方差齐性检验a

表10ANOVA方差分析结果表明：在低负载水平的题目上，不同年级学生心算准确率之间没有统计学差异(F=2.405,R2=0.271,p=0.094>0.05)。在中负载水平的题目上，不同年级的学生心算准确率之间有统计学差异(F=10.507,R2=0.913,p=0.000<0.05)。在高负载水平的题目上，不同年级学生心算准确率之间有显著性差异(F=18.722,R2=1.647,p=0.000<0.05)。

表10 ANOVA方差分析a

表11结果表明：(1) 在低负载水平的题目上，七年级和八年级心算准确率之间没有显著性差异(p=0.204>0.05)，八年级和九年级准确率也没有显著性差异(p=0.345>0.05)，七年级和九年级准确率有显著性差异(p=0.032<0.05)。(2) 在中负载水平的题目上，七年级和八年级心算准确率之间没有显著性差异(p=0.132>0.05)，八年级和九年级准确率具有统计学差异(p=0.003<0.05)，七年级和九年级准确率有显著性差异(p=0.00<0.05)。(3) 对于高负载水平的题目，七年级和八年级心算准确率之间有统计学差异(p=0.000<0.05)，八年级和九年级准确率没有统计学差异(p=0.753>0.05)，七年级和九年级准确率有显著性差异(p=0.00<0.05)。根据均值可知：七年级的准确率最高，

表11 LSD多重比较

九年级的准确率最低。随着年级的升高，准确率都在不断下降。(4) 值得注意的是，在同一负载水平试题上，初中生的心算准确率随年级升高而下降；在中负载水平题目上，八年级和九年级心算准确率差距较大，而在高负载水平题目上准确率没有显著差异。

4.3 同一年级期末成绩与心算成绩的相关性分析

(1)小学同一年级期末成绩与心算成绩的相关性分析

以三年级为例,分析结果如表12所示。表12中的期末成绩指数学期末成绩，下表同。

表12 三年级期末成绩与心算成绩的相关性分析

(2)初中同一年级期末成绩与心算成绩的相关性分析

下面以九年级为例，结果由表13所示。

表13 九年级期末成绩与心算成绩的相关性分析

研究结果表明：低负载心算的得分与期末成绩之间具有较强的、正向的相关关系(ρ=0.752,N=38,p<0.05)。中负载心算的得分与期末成绩之间具有较弱的相关性(ρ=0.574,N=38,p<0.05)。高负载心算的得分与期末成绩之间具有较弱的相关性。总言之，期末成绩越高的学生，低负载心算成绩越高；期末成绩高的学生，中负载和高负载心算成绩不一定高，中负载和高负载心算成绩高的学生，期末成绩不一定高。

5 分析与讨论

5.1 对M+P水平在不同层次学生中的差异的分析与讨论

(1)随着试题工作记忆负载水平的升高，平时数学成绩越差的学生，其工作记忆性错误越多，即易于遗忘记忆单元或混淆记忆单元的位置。例如小学生心算128×6时，需在同一时间内记忆4、8、1、2这四个数字，即M=4，并且操作一次2+4=6和一次1+1×6=7，即P=2，那么M+P=6，因此出现了很多工作记忆性错误，如错答268、668、708、728等等。又例如初中生心算x2-16=0时，学生认为8的平方为16，即将平方数的计算42=16与乘法计算2×8=16相混淆了。

(2)工作记忆的存储过程和操作过程都影响着学生的心算过程。当M值增大(特别是接近人的最大工作记忆容量4)时，学生就难以准确无误地存储每一个记忆单元及其位置，也难以通过中央执行系统调动相应的记忆单元以实现下一步的操作；当P值增大时，在操作过程中就会易于遗忘或混淆之前的记忆单元。一般地，平时数学成绩越好的学生，工作记忆水平越高，工作记忆性错误越少，甚至没有。这主要体现在其善于默读记忆单元多次，通过语音环路加深大脑对记忆单元的记忆，通过视空间模板的空间成分加深大脑对记忆单元位置的记忆,也体现在其善于对记忆单元操作多次，通过中央执行系统对这当中的操作环节进行有效监控，正如学生通常会解释说“想了好多遍”“划掉好多次”等等。

(3)工作记忆性错误的具体表现与策略的选择有关。不同层次的学生将选择不同的策略，不同的策略带来不同的工作记忆路径和“负担”，而策略的选择受到情节缓冲器的影响。情节缓冲器[4]被认为是两个子系统(语音环路和视空间模板)和长时记忆间的交界，是一个可以利用多重编码的有限的存储系统[3]。也就是说，可以理解为学生在面对一道心算试题时，首先通过语音环路和视空间模板将试题信息存储在大脑中，而后通过情节缓冲器联系长时记忆，进而使不同层次的学生选择各自倾向的策略。对于2x2+x-1=0一题，初中生有三种策略可以采取，一是利用特殊值代入，这将使学生不断试验而易得到一个根，丢失另一个根；二是利用十字相乘法，进入工作记忆负载水平较高的心算过程，易于产生混淆，例如得到错误结果1或-2；三是利用求根公式，由此进入工作记忆负载水平非常高的心算过程，产生更多的错误。

5.2 对M+P水平在不同年级学生中的差异的分析与讨论

(1)小学阶段

(a) 在各负载水平题目上，五年级心算准确率均为最低。五年级出现的小数运算增加了位数混淆的错误。例如，相比于三、四年级心算试题15+27的平均正确率92.9%、97.4%，五年级同负载试题1.5+2.7的平均正确率仅为88.9%，其中，0.32便是典型错误。

(b) 在高负载水平的试题上，四年级准确率高于三年级。随着年级的升高，学生得到的计算训练越多，其工作记忆系统越为完善，特别是中央执行系统中的注意、控制和协调功能有所提高，加工自动化程度有所提升[4]。例如，对于同一负载水平试题128×6，四年级的平均正确率为71.4%，高于三年级的平均正确率48.7%。正如一位四年级学生解释道：“这样的题练得很多了，很快就知道答案了。”

(2)初中阶段

5.3 对同一年级期末成绩与心算成绩的相关性分析的讨论

(1)由期末成绩与心算成绩的相关性分析可知，在义务教育阶段，学生的期末成绩与心算成绩间具有一定的相关性，一般情况下，期末考试成绩越高的学生，心算成绩越高；但心算成绩高的学生，期末成绩不一定高。这是因为存在期末成绩与心算成绩不相一致的反常情况。例如，一位五年级学困生的心算准确率为93.3%超过了一位优等生的心算准确率86.7%。结合实际，这并不难解释，有的学困生在平时的数学学业表现中，其综合分析和应用能力较差，但其基本计算能力较强，能够达到优等生的计算水平。

(2)相比之下，初中阶段的相关性比小学阶段较强一些，表明初中阶段的这一反常现象较少。从工作记忆的角度来解释，我们猜测这是因为：(a) 小学生的工作记忆系统还不完善，工作记忆水平有待提高，学生处于心算能力发展的波动期，其发展趋势具有不稳定性；(b) 初中生的工作记忆系统已经相对完善，其工作记忆水平不再提高，心算能力发展水平逐渐趋于稳定。

5.4 M+P值与数字工作记忆广度

在以往的研究[3～6]中，心算任务的工作记忆“负担”大小是通过测量学生的数字工作记忆广度来衡量的，而本研究是通过试题的M+P值来衡量的，两种研究方式既有联系又有区别。两者的区别在于：(1) 以往研究中的工作记忆“负担”仅体现了存储过程中工作记忆容量带来的影响，而研究中的工作记忆“负担”还体现了加工过程中的操作环节带来的影响；(2) 以往的研究测量出了学生的最大数字工作记忆广度(约为6±2)，而本研究未测量出学生所能承受的最大M+P值。两者的联系在于：(1) 两种方式都试图从工作记忆的存储和加工两个方面设计心算任务以探究工作记忆对心算的影响机制；(2) 两种方式都试图量化工作记忆“负担”的大小以观察学生在不同工作记忆“负担”下的表现；(3) 从工作记忆“负担”的最大值上看，数字工作记忆广度的最大值为6+2=8时，表示学生在心算第8个简单计算题时，工作记忆中已经有先前记住的7个记忆单元，这时的M+P值为7+1=8，而本研究心算任务的M+P值最高不超过7，这也与以往研究的最大数字工作记忆广度8相近，具有一定的合理性。

5.5 工作记忆性错误的相关解释

本研究提到的工作记忆性错误与前人在心算的研究中所定义的错误类型具有一致性，但说法有所不同。本文的工作记忆性错误主要分为两类，即工作记忆性遗忘和工作记忆性混淆。回顾以往相关文献可知，工作记忆性混淆这一错误类型已有前人[7,8]提及，下面通过具体的例子进行分析：(1) 例如7×9=56的错误属于本文提到的工作记忆性混淆，具体为对长时记忆7×8=56和7×9=63的提取出现混淆；也属于McCloskey等研究者所列的操作数错误，即错误答案是另外一道与本题有一个相同操作数问题的答案，因为56是7×8的答案；还属于Barnes等提出的事实提取错误，因为乘法事实为7×9=63。(2) 例如17×4=58的错误属于本文中提到的工作记忆性混淆，具体为混淆进位数；也属于Barnes等提出的程序错误，即进位错误。(3) 例如82=16的错误属于本文中提到的工作记忆性混淆错误，具体指混淆平方数的计算与乘法；也属于McCloskey等研究者所列的算法错误。

可见，本研究的工作记忆性错误说法涵盖范围较广，在一定程度上囊括了前人所提及的错误类型。比如2×4=6，从前人归结的错误类型来看，可以被视作操作数错误，因为可以看作学生将题目当作了2×3来做；也可以被视作算法错误，因为可以看作学生将题目当作了2+4来做。但从本文的错误类型来看，2×4=6属于工作记忆性混淆，具体为对长时记忆2×3=6和2×4=8的提取出现混淆或者对算法(加法和乘法)的混淆。此外，本文的工作记忆错误类型在加减乘除、解方程等运算中都适用，这在一定程度上弥补了McCloskey的划分限定在个位数加法和乘法的范围内的缺陷[4]。

6 研究结论和建议

6.1 研究结论

本研究得到的结论主要有：(1) 在义务教育阶段，随着心算试题负载水平的升高，各层次学生的心算准确率都在不断下降。(2) 工作记忆性错误的具体表现与策略的选择有关，不同层次的学生将选择不同的策略，不同的策略带来不同的工作记忆路径和“负担”，而情节缓冲器影响着策略的选择。(3) 学生的工作记忆水平受到训练程度以及心态的影响。(4) 期末成绩与心算成绩间具有一定的相关性，较小学而言，初中的相关性更高。

6.2 建议

针对研究结果，本文提出如下教学建议：(1) 教师的课堂应当精益求精、详略得当；教师应当引导学生课后多总结与复习，以减少对知识的遗忘。(2) 注意强调新旧知识的区别与联系，以避免出现知识、算法的混淆。(3) 加强学生的数学运算训练，增强学生的数感，以调整学生面对复杂运算时的不良心态。(4) 注意让学生掌握更多的运算策略，以优化计算，更好地帮助解决问题。