康 牧, 李远博

(1.洛阳师范学院 信息技术学院,河南 洛阳 471934; 2.洛阳理工学院 计算机与信息工程学院,河南 洛阳 471023)

B超可以对患者进行无损检测且价格低廉,所以受到广大医护人员的厚爱.利用B超图像可以准确地判断患者的病情,又可以降低患者的诊疗费用.人们在电脑上观看视频,不管是“流畅版”的视频还是“高清版”的视频都可以“全屏”播放,但是“流畅版”的视频始终没有“高清版”的视频“清晰”,主要是因为“流畅版”视频的分辨率低.B超图像的分辨率也不是很高,为了更清楚地看清B超图像,对B超图像进行放大处理,扩大其分辨率就势在必行.对图像进行放大或缩小是图像处理中基本且常用的几何运算[1].图像放大需要对多出来的像素点进行插值,在图像旋转时,原来行列坐标是整数的像素点,经过旋转后可能对应到几个像素点之间,这时也要对像素点进行插值.常见的图像插值算法有:双线性法、最近邻法、非均匀法、双三次卷积插值法、双立方法、Lagrange法、曲面插值法[2]、克里金(Kriging)插值法[3—7]、样条插值法[8]、反距离加权插值法[9]等.双线性法只参考待插入点周围的4个点,参考范围太小,故插值效果不够理想,容易出现“锯齿形”边缘和“块状”现象.最近邻法用离待插入点最近的那个点的像素值作为待插入点的像素值,算法最简单,但是效果也最差.双三次卷积插值法和双立方法的算法复杂度较高,更重要的是缺少低于6次方的6个项,容易产生颜色“失真”现象.图像插值算法广泛应用于各个领域:文献[10]将图像插值应用在火山岩孔隙径向非均质性方面;文献[11—13]将图像插值应用在医学CT图像的处理方面;文献[14]将图像插值应用在日最高最低气温估算方面;文献[15]将图像插值应用在二重六点细分方案中;文献[16]提出了一种基于离散插值的多项式曲线逼近有理曲线的方法,但是该方法中去掉了“常数项”,不是十分理想.对于医学图像的处理必须有一个合理的算法,否则后果不堪设想.本文从分析双线性法和双立方法入手,结合文献[16]的思想提出了一种基于二元多项式插值的B超图像放大算法,对实验结果的分析说明了本文方法的优越性.

1 传统的图像插值算法

双线性法的原理如图1所示,其中“黑色点”是待插入点,“白色点”是其周围的像素点.插值公式为

f(x,y)=(1-y){(1-x)f(0,0)+xf(1,0)}+

y{(1-x)f(0,1)+xf(1,1)}.

(1)

将(1)式整理得

f(x,y)={f(0,0)+f(1,1)-f(0,1)}xy+

{f(1,0)-f(0,0)}x+

{f(0,1)-f(0,0)}y+f(0,0).

(2)

显然(2)式就是x和y的二元多项式,其每一项的系数就是待插入点周围的4个像素点颜色值的运算结果.

双三次方法的插值原理是:取待插入点周围的16个像素点(图2),其中fi(1≤i≤16)是该点的颜色值,其坐标值分别为f1(-1,-1),f2(0,-1),f3(1,-1),f4(2,-1),f5(-1,0),f6(0,0),f7(1,0),f8(2,0),f9(-1,1),f10(0,1),f11(1,1),f12(2,1),f13(-1,2),f14(0,2),f15(1,2),f16(2,2).双三次法的插值公式为

图2 双三次方插值示意图

(3)

显然(3)式也是x和y的二元多项式,其x与y混合项指数最高是6,包含x3y3,x3y2,x3y,x3,x2y3,x2y2,x2y,x2,xy3,xy2,xy,x,y3,y2,y和“常数项”,混合项指数最高达到6,但是低于6次方的项却缺少如下几项x5,y5,x4y,y4x,x4,y4,不是十分合理,对此在实验及分析部分还有介绍.

文献[16]中给出的用多项式逼近有理曲线的公式为

f(x,y)=-188 842 750x+893 052 864x2-

164 249 856x3+10 265 616x4+377 685 504y+

33 891 072xy-41 736 394x2y-74 803 392y2-

63 290 880xy2+7 911 360x2y2+10 238 972y3-

154 880y4.

(4)

显然(4)式也是一个x和y的二元多项式.其x与y的混合项指数不超过4,但是缺少x3y,y3x和“常数项”,(4)式是用来逼近有理曲线的,不能直接用于图像插值.

2 本文提出的算法

双线性法运算简单,但是参考的范围较小,效果稍微欠缺.双立方法缺少低于最高次方的5个项,不大理想.由于缺少x3y,y3x和“常数项”,文献[16]用多项式逼近有理曲线,运用在图像插值方面不大合理.本文提出一个插值多项式,其基本要求是:对于待插入点的横坐标x和纵坐标y同样看待,用待定系数法确定一个二元多项式图像插值算法,并将该插值算法应用于B超图像的放大处理.

双线性法有4个项:xy,x,y,“常数项”,选择待插入点周围的4个独立的点,可以满足要求.

对于全二次多项式,有x2,y2,xy,x,y和“常数项”共6个项,需要6个独立的点,在图像插值中从待插入点周围选择6个点不好选择.

对于全三次多项式,有x3,y3,x2y,y2x,x2,y2,xy,x,y,“常数项”共10个项,需要10个独立的点,在图像插值中从待插入点周围选择10个点不好选择.

对于全四次多项式,有x4,y4,x3y,y3x,x2y2,x3,y3,x2y,y2x,x2,y2,xy,x,y,“常数项”共15个项,需要15个独立的点,选择15个点也无法选择.在这里对待插入点周围4×4区域中的16个点,去掉与待插入点距离最远的4个角上的点(与待插入点距离近就对插值影响大,否则就影响小),如图3所示.

图3 插值参考点

由于图像插值时,待插入点的横坐标x和纵坐标y都是大于等于“0”小于“1”的数,所以“高次项”对图像插值的影响比“低次项”小,故在插值多项式中保留全三次多项式的10个项,再从5个四次项中选择2个即可.

若选择x2y2,则因为要求对x和y同样看待,另一个无法选择.若选择x4和y4,则相应的插值公式为

f(x,y)=A11x4+A10y4+A9x3+A8y3+

A7x2y+A6y2x+A5x2+A4y2+

A3xy+A2x+A1y+A0.

(5)

将f0～f11及其坐标x和y代入(5)式得

(6)

但方程组(6)存在数据相关,没有解.故只能选择x3y和y3x,则相应的插值公式为

f(x,y)=A11x3y+A10y3x+A9x3+A8y3+

A7x2y+A6y2x+A5x2+A4y2+A3xy+

A2x+A1y+A0.

(7)

将f0～f11及其坐标x和y代入(7)式得

(8)

解方程组(8)得

(9)

将A0～A11代入(7)式即得到图像插值公式.

3 实验结果及分析

为了验证本文算法的优越性,选择一个“方正舒体”的 “化”字,“粘贴”到“画图”软件中,组成一幅图像,利用双线性法、双三次法和本文方法进行放大8倍的实验,实验结果见图4.

从图4可以看出,双线性法的结果中“字”的“颜色”“暗淡”,且在图像的边缘部分“锯齿形”现象严重,从偏旁部首“单立人”上面的“一撇”可以看出,文中算法基本是“连续的”;双线性法则体现为一些“散点”;双三次法“颜色”严重“失真”,这主要是由于它缺少低于6次方的那几项造成的;本文算法无论“颜色”、边缘和视觉效果都比较理想.

图4 实验结果1

下面选择3幅B超图像进行实验.这3幅B超图像都是512×512的,有些大,为了节省文章篇幅,截取中间的一小块进行放大实验,结果见图5～7.

从图5可以看出,双线性法的结果中图像色泽“暗淡”,且在图像的边缘部分出现了一些细小的“锯齿”;双三次法比双线性法要好一些,与本文算法的视觉效果差不多,这说明双三次法在不“失真”的前提下,效果还是可以的.

图5 实验结果2

从图6可以看出,双线性法的“模糊”现象和“锯齿形”现象比较严重,但是双三次法出现了一些不该有的“黑色块”,B超图像放大是为了医护人员更容易看清结果,而这种现象容易导致医护人员做出错误的判断,这是不应该的,而本文算法的结果比较理想.

图6 实验结果3

从图7可以得出与实验3相似的结论,只是双三次法的结果中除了出现一些莫名其妙的“黑色块”以外,在原图像中下部的那个“黑色尖部”的中间还出现了一个“白色块”,这说明双三次法不能应用于医学图像处理.

图7 实验结果4

另外,双三次法需要计算16个系数(本文算法仅需要计算12个系数),且插值公式比本文算法多了1个六次项x3y3,2个五次项x3y2,x2y3和1个四次项x2y2,算法的复杂度高于本文算法,且实验结果还不如本文算法,这进一步说明了本文算法的优越性.

以上从主观视觉效果上说明了本文算法的优越性,以下从客观效果上进行评价.

第一，峰值信噪比可以在一定程度上客观地反映算法的优劣.

如果一个图像插值算法是理想的,用同一种图像插值算法对一幅图像先放大若干倍,然后再缩小若干倍,应该与原图像相同,峰值信噪比可以在一定程度上客观地反映图像处理的效果.

峰值信噪比的计算公式为

PSNR=

(10)

式中:f(i,j)代表原图像中第i行第j列处的像素值;f′(i,j)代表去噪后图像中第i行第j列处的像素值;M,N代表图像的高和宽.

第二，对4个实验的结果,用同样的插值算法先放大4倍,再缩小4倍,然后求它们与原图像的峰值信噪比,得到的实验结果见表1.

表1 峰值信噪比

从表1可以看出,对于“化”字图像、B超图像1和B超图像2,由于双立方法失真比较严重,其峰值信噪比相当低;对于B超图像1,3种算法都没有产生失真,双立方法峰值信噪比稍微高于双线性法,这说明在不失真的前提下,双立方法优于双线性法;而本文算法不但不会失真,而且峰值信噪比也总是最高的;从客观上也说明了本文算法的优越性.

4 结语

通过对传统图像插值算法的分析,发现所有图像插值算法(最近邻算法除外)都可以转换为待插入点坐标值x和y的二元多项式,每一项的系数是待插入点周围像素点的颜色值的运算结果.在此基础上用待定系数法定义和实现了一个新的图像插值算法,对待插入点坐标值x和y同样看待,不但算法结果优于双三次法,而且算法复杂度也低于双三次法.实验结果分析从一定程度上说明了本文算法的合理性.