张若军， 张 垒

(中国海洋大学数学科学学院， 山东 青岛 266100)

20世纪80年代，美国加州理工学院的生物物理学家Hopfield提出的Hopfield神经网络模型[1-2]是人工神经网络研究中具有里程碑意义的工作。因为人工神经网络是人脑智能活动或部分功能的模拟，所以广泛应用于并行计算、模式识别、信号处理、联想记忆等领域，特别是在人工智能领域存在巨大潜力。尤其近三十年来，随着高性能计算机的出现及新概念的不断引入，人们对人工神经网络的研究热情高涨，并得到了大量有价值的研究成果[3-7]。

(1)

式中：τi为正常数；n表示神经网络中神经元的个数；wij表示神经元j到i的连接权重；gi(·)表示神经元i的激活函数；Ii表示神经元i的外部输入。

以神经元的外部状态y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t))T作为变量的递归神经网络称为静态神经网络模型，其基本形式为

(2)

模型(2)中出现的符号意义与模型(1)相同。

相比于局域递归神经网络模型(1)，静态神经网络模型(2)的研究成果较少，而静态神经网络模型包含了ReBp网、BCOp网、BSB网等重要人工神经网络模型[9]。同时，因为神经元之间的信息传输速度有限，以及电路系统中放大器的开关速度有限，不可避免地产生时滞，时滞的存在会导致网络的振动、不稳定甚至出现混沌现象，因此，时滞神经网络的研究尤为重要，而S分布时滞包含了离散时滞与连续分布时滞两种情形[10]，故具有更一般的意义。

1990年代，美国数学家Pecora和Carroll[11-12]首次提出驱动—响应概念并实现了两个混沌系统的同步。此后，混沌同步控制在保密通讯、优化组合、人工智能等方向得到了广泛应用。在时滞神经网络的同步性研究方面虽然也有大量研究成果[13-19]，但就作者所知，有关静态神经网络同步性的研究鲜见报道。

本文将考虑S分布时滞静态神经网络的全局渐近同步问题，以S分布时滞静态神经网络为驱动-响应系统，在一定条件限制下，设计响应系统控制器，应用Lyapunov泛函方法和某些不等式技巧，得到所考虑的驱动—响应系统的全局渐近同步性的充分性条件，该条件简单且易于应用。并且，本文最后给出了一个实例验证了所得结论的有效性。

1 主要结果

考虑如下一类S分布时滞静态神经网络模型

(3)

模型(3)的向量形式为

(4)

式中：

C=diag(c1,c2,…,cn)，ci>0，i∈I，B=(bij)n×n;

f(Bx(t)+I)=

以模型(4)为驱动系统，并设相应的响应系统为

(5)

设系统(4)与系统(5)的初始条件分别为:

xi(s)=φi(s)，s∈[-r,0]，φi(s)∈C([-r,0],R)

(6)

和

yi(s)=Ψi(s)，s∈[-r,0]，Ψi(s)∈C([-r,0],R)。

(7)

为证明方便，这里给出以下假设。

(H1) 输出函数gi(·)满足全局Lipschitz条件，即存在常数lig>0,使对∀u,v∈R,有

|gi(u)-gi(v)|≤lig|u-v|,i∈I。

(H2)DLg为对称正定矩阵，且存在矩阵K，使得K+E为对称正定矩阵，这里Lg=diag(l1g,l2g,…,lng)。

定义1若对任意的初始条件，系统(4)中的状态向量x(t)和系统(5)中的状态向量y(t)，满足

则称系统(4)和(5)是全局渐近同步的。

引理2若f(x)为[a,b]上的连续函数，g(x)为[a,b]上不减有界变差函数，则

证明 分两部分证明。

第一部分证明：对∀ai∈R，bi∈R，bi>0,i∈I，有

(8)

利用数学归纳法，n=1时，(8)式显然成立。

假设n=k时，(8)式成立，即有

(9)

则当n=k+1时，

第二部分证明：

(10)

对[a,b]的某一分法Δ:a=x0

有

由第一部分证明的结论，显然有

在上式中令λ→0，故(10)式成立。

引理3[20]对∀x∈Rn,y∈Rn，有

2xTy≤xTx+yTy。

定义同步误差信号e(t)=y(t)-x(t)，由驱动系统(4)和响应系统(5)，可以得到如下的误差系统：

-Ce(t)+f(By(t)+I)-f(Bx(t)+I)+

(11)

定理1假设驱动系统(4)和响应系统(5)满足条件(H1)和(H2)，设计反馈控制器

U(t)=f(Bx(t)+I)-f(By(t)+I)+

其中G为满足以下条件的矩阵

(12)

证明 在定理设计的反馈控制器下，误差系统(11)的零解显然存在，因此，可将证明系统(4)与(5)是全局渐近同步的转化为证明系统(11)的零解是全局渐近稳定的。

定义Lyapunov泛函

(13)

沿系统(11)的解轨道，计算V(e(t))的导数，利用引理1，有

其中

eT(t)[(G-C)e(t)+

(14)

(15)

利用引理2，有

(16)

再利用条件(H1)、(H2)及引理3，有

(17)

综合(14)～(17)式，有

(18)

2 实例

例1考虑如下S分布时滞二维静态神经网络系统

(19)

从而，

Q=

3 结语

本文讨论了一类S分布时滞静态神经网络的全局渐近同步性。在一定的条件下，设计了相应的响应系统的控制器，应用Lyapunov泛函方法及某些不等式技巧，得到驱动—响应系统全局渐近同步性的充分性条件，该条件简单且易于应用。并且，通过给出具体实例说明了所得结论的有效性。