侯小秋

(黑龙江科技大学 电气与控制工程学院， 哈尔滨 150022)

0 引 言

惩罚函数法求解约束最优化问题，将问题的目标函数与约束函数构造增广目标函数，即惩罚函数，将约束最优化问题转化为无约束最优化问题求解。根据惩罚函数构造的思想不同，分为内点惩罚函数法[1]、外点惩罚函数法[2]和混合惩罚函数法[3]，还可分为静态惩罚函数法[4]、动态惩罚函数法[4]、退火惩罚函数法[4]和自适应惩罚函数法[4]。各种惩罚函数法都有自己的优缺点。笔者分析一种外点惩罚函数法[2]解析解和数值解在可行域内成立的条件，针对具有偏置量的外点惩罚函数法，同样分析其数值解和解析解在可行域内的条件，当偏置量满足允许误差限的限制条件时，偏置量外点惩罚函数法具有严格成立性，提出一种高数值稳定性的改进DFP拟牛顿法，应用文中求解偏置量外点惩罚函数法。

1 外点惩罚函数法

1.1 解析解

一般约束最优化问题为

式中：x——优化变量；

f(x)——优化函数；

gj(x)——等式约束；

cm(x)——不等式约束。

构造惩罚函数[2]为

(1)

式中：F(…)——惩罚函数；

M(k)——惩罚因子，且有，0

式(1)的解析解x*为

(2)

由式(2)求得的x*，若

cm(x*)≤0,m=1,2,…,M。

(3)

(4)

则，解析解x*在可行域外，外点惩罚函数法解无效。

1.2 数值解

数值解可采用无约束最优化的最速下降法和牛顿法及拟牛顿法等求解，当

cm(xk+1)≤0,m=1,2,…,M，

(5)

式中：xk+1——k+1步数值解；

k+1——迭代步数。

(6)

则，数值解在可行域外，外点惩罚函数法解无效。

2 偏置量外点惩罚函数法

2.1 解析解

在文献[2]的外点惩罚函数法的惩罚函数中加入偏置量，构造惩罚函数为

(7)

μ——偏置量，μ>0。