顾珊岚

圆锥曲线是解析几何中的重要内容之一，也是高考的热点和难点，其中的定值问题是常考的一类题型，题目通常要求根据条件证明所求结论不受任何变量的影响，恒为定值。此类题型综合性强、思维难度大、计算量大，同学们只有掌握相关的方法和技巧，才能顺利解题。本文尝试对圆锥曲线定值问题运算中的常用技巧做一些归纳整理，为这类题型的备考提供一个参考。

一、回归定义，灵活应用，化难为易

回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点。若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能收到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果。在圆锥曲线的定值问题中亦是如此。

例1已知抛物线E：x？=2py（p》0）的焦点为F，圆M的方程为x+y'-py=0，若直线x=4与轴交于点R，与抛物线E交于点Q，且|QF1=2RQ＼。

（1）求出抛物线E和圆M的方程。

（2）过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，与圆M交于C，D两点（A，C在y轴同侧），求证：|AC|.|DB|是定值。

解析：（1）设Q（4，yo），由|QF|=|RQ得y。+P.5

yo，所以y。=2p，将点（4，2p）2代人抛物线方程得p=2，所以抛物线E：x？=4y，圆M：x+y'-2y=0。

（2）抛物线E：x=4y的焦点为F（0，1），设直线l的方程为y=kx+1，A（x，（x？=4y，y1），B（xz，y2），由（y=kx+1，消去y整理得x-4kx-4=0，则0=16（k'+1）》0，且x+x2=4k，x.xz=-4。由条件可知圆x+（y-1）？=1的圆心为M（0，1），半径为1，圆心就是抛物线E的焦点。

由抛物线的定义知|AF|=y1+1，|BF|=yz+1，则ACI=lAFI-1=y，I|BD|=|BF|-1=yz，lACl.|BD|=yyz=（kx+1）.（kx，+1）=kxx2+k（x+x）+1=-4k*+4k*+1=1。

所以|AC|.|BD|为定值，定值为1。点评：本题通过抛物线的定义灵活地将焦半径|AF|，|BF|进行转化，得到|AF|=y1+1，|BF|=y+1，再分别减去圆M的半径，即可得|ACI=y，|BD|=yz，从而快捷地建立代数关系式|AC|.|BD|=y1yz，并进行求值即可。本题若要由点A，C的坐标求|AC|，点B，D的坐标求|BD|，则必然需要再联立直线CD和圆的方程，那么|AC|。|BD|的代数式的得出难度相当大，过程也会非常烦琐。所以解决本题的关键在于灵活应用圆锥曲线的定义。

二、巧设参数，追踪动点、动直线

圆锥曲线因运动而精彩纷呈，在圆锥曲线的定值问题中，不同的视角决定着我们选取不同的参数，建立不同的代数关系，无论是何种代数关系，我们都是为了实现“定”的目标，因此如何合理选参直接影响到代数式的繁简程度。在分析问题时，我们既要从条件出发，又要从目标逆推，找到条件和目标之间的联系，达到优化运算的目的。

例2

如图1，已知椭圆

的左焦点和右焦点分别为F，F，，左顶点和右顶点分别为A，Ap，上顶点和下顶点分别为B，，B，△B，OF;是斜边长为2的等腰直角三角形，直线l过A2且垂直于x轴，D为l上异于A。的一个动点，直线A，D交椭圆于点C。

（1）求椭圆的标准方程;

（2）求证：可为定值。

解析：（1）因为△B，OF，是斜边长为2的等腰直角三角形，所以a=2，6=c。

又因为a=b+c，所以6=2。

解法二：由已知直线AD的斜率存在，设直线A，D的方程为y=k（x+2）（k0），所以C.B为定值4。

点评：本题第（2）问的解答，若从目标.苏出发（解法一），则发现研究数量积需要知道点的坐标，所以选择设椭圆上的动点C（xo，yo）（y。0）为参数，再由直线A，C与直线l相交确定点D，从而得出数量积的表达式并化简得出定值;若从条件出发（解法二），则发现动直线AD与直线l和椭圆分别交于点D，C，所以选择设动直线AD的斜率为k（k≠0），再求出点D，C的坐标，从而得出数量积的表达式并化简得出定值。比较而言，本题还是设点C坐标的方法运算量较小，可以避免联立直线与椭圆方程得出交点的运算步骤。

三、极端思想，优化解题过程

极端策略是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变。通过圆锥问题的极端元素，灵活借助极端策略解题，可以避开抽象及复杂运算，优化解题过程，降低难度，是简化圆锥曲线运算的一条有效且重要的途径。

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|，

（2）由|MA|=|MB|知，M在线段AB的中垂线上，由椭圆的对称性知A，B关于原点对称。

①若A，B是椭圆的短轴顶点，则M是

椭圆的一个长轴顶点，此时

同理，若A，B是椭圆的长轴顶点，则M

是椭圆的一个短轴顶点，此时

②若A，B，M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k?0），则直线OM的方程

点评：本题通过A，B，M三点的两种极端位置，即若A，B是椭圆的短轴顶点，则M是椭圆的一个长轴顶点和若A，B是椭圆的长轴顶点，则M是椭圆的一个短轴顶点，得1

出=2为定值。再10A+IOB+1OM|2探究A，B，M三点不是椭圆顶点时，选择合理的参数，得出OA+|OB|2十|OM|2的关系式，通过化简求出定值。灵活借助极端策略，简化代数式的运算，优化解题过程。

解析几何是高考高频考点，运动与变化是研究几何问题的基本观点，而利用代数方法研究几何问题是解决解析几何问题的基本方法，其解题思路灵活，不同的切人點会导致运算量的差异。圆锥曲线题一般题目较长，需仔细审题，合理转化;解析几何题的运算量大，要养成良好的运算习惯，掌握运算技巧;圆锥曲线是几何问题，要考虑其几何属性，利用数形结合思想解题。因此在解决此类问题时，要耐心审题，大胆转化，优化思路，细心运算。

（责任编辑王福华）