玉素贞

摘 要：普通高中数学课程标准（新课标）提出数学核心素养的培养，其中数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析处理，这些数学素养也在高考试题中体现出来。解三角形高考题中涉及最值的问题经常出现，以解三角形为载体，考查最值问题是数学核心素养的一种重要考查方式，这类问题常常令许多考生没有解题思维，导致失分。文章从两个维度来处理此类问题，给出两种转化策略。

关键词：核心素养;三角形;基本不等式;化边为角;最值

教育部于2014年3月30日发布的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》中提出研究制订学生发展核心素养体系，明确学生应具备适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。2015版的《普通高中数学课程标准》提出六大核心素养，具体为数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。指引教育准确把握当今人才培养方向，引导考试评价更加准确反映当下人才培养的要求，数学核心素养体系成为数学教育研究者和一线教师的关注焦点。关于数学核心素养的理论研究日趋完善。受传统学习方式和考试评价的长期影响，数学教育存在着一些共性问题，课堂教学过分追求高考分数、重视高升学率，教师往往重视课堂结果、忽视认知过程，重视试题结果忽视了实际应用，导致高中生只能死记硬背教材内容，自身逻辑能力较差。

随着新课程改革的不断推进，一线教师普遍感觉到新课改对教师和学生的要求相比以前都有明显提高。课时量减少了但是教材的内容却增加了，考试题目看似常规简单但是需要学生认真审题灵活运用已掌握的知识和方法技能，这就要求必须进一步提高课堂效率，需要教师在实际课堂教学中，在学生熟悉基本数学知识方法的前提下，加强学生科学思维能力的训练，使学生不仅能利用正确的科学思维来处理数学中遇到的问题，更能让学生的核心素养得到提高。

解三角形高考题中涉及最值的问题经常出现，以解三角形为载体，考查最值问题是数学核心素养的一种重要考查方式，这类问题常常令许多考生没有解题思维，导致失分。文章从两个维度来处理此类问题，给出两种转化策略。

一、 利用基本不等式和三角形的几何性质求最值

【例1】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA=13。

（1）略;

（2）若a=3，求bc的最大值。

分析如下：因为a2=b2+c2-2bccosA，∴3=b2+c2-23bc。

由基本不等式b2+c2≥2bc有3≥2bc-23bc，即43bc≤3，当且仅当b=c时取等，∴bc≤94，当且仅当b=c=32时（bc）max=94。

点评：在这一问题的分析过程中，我们需要透过题目信息，挖掘考查的本质内涵所在，以此为突破口，进行分析和解答。首先，根据题给信息可以看出，本题主要结合了基本不等式和解三角形相关的最值或范围问题，对学生的综合能力进行考查。此题利用余弦定理结合不等式b2+c2≥2bc转化为有关bc的不等式进而求出bc的范围。综合而言，在高中数学中经常出现这类问题，其主要的特点是涉及的知识面广、灵活性大、综合性强，需要教师在解题的过程中注重对学生的引导估计，培养学生的思维能力和创新意识。

【例2】 在△ABC中，已知sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C，其中角A，B，C所对的边分别为a，b，c。

（1）求角C的大小;

（2）求a+bc的取值范围。

分析如下：（1）由正弦定理及已知条件，化角为边得：a2+b2-ab=c2，∴cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12，C=60°。

（2）在△ABC中，a+b>c，∴a+bc>1。又c2=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab，∵a+b≥2ab，∴ab≤a+b22，则c2≥（a+b）2-34（a+b）2=14（a+b）2，从而（a+b）2c2≤4， 即a+bc≤2，（当且仅当a=b时取等），综上所述，1

点评：此题利用余弦定理及基本不等式a+b≥2ab把ab转化为有关a+b的不等式进而求a+bc的最大值，再利用三角形基本性质，两边的和大于第三边，得a+b>c则a+bc>1。

例1和例2都是利用余弦定理，结合基本不等式及其推论求解最值。这种解题策略需要学生对两个正数的和与积的关系灵活转换，体现了其数学运算和数据分析的能力。

二、 化边为角转化为三角函数的最值问题

三角函数中，正弦函数和余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，这是求解三角最值问题的常用方法。利用正弦定理化边为角将多元问题降元，转化为一元问题，再利用三角函数的有界性可求解出最值。

【例3】 在△ABC中，B=60°，AC=3，则AB+2BC的最大值为    。

分析：∵asinA=csinC=bsin60°=2，∴a=2sinA，c=2sinC，∴AB+2BC=c+2a=2sinC+4sinA=2sinC+4sin（120°-C）=2sinC+4sin120°，cosC=4cos120°sinC=4sinC+23cosC=2727sinC+37cosC=27sin（C+φ）（其中cosφ=27，sinφ=37，0°<φ<90°），∵0°

点评：此题利用正弦定理化边为角，再根据三角恒等变化转化为求三角函数y=Asin（ωx+φ）的最值问题。

同样的，例2第（2）问也可以利用正弦定理把边转化为角，从而转化为求三角函数y=Asin（ωx+φ）的最值问题。