吴 越， 张 林， 柯艺波， 陶 猛

(贵州大学 贵州大学机械工程学院，贵阳 550025)

20世纪80年代后期泡沫铝材料作为新型声学材料迅速发展起来，由发泡处理在铝合金等材料内部形成新型多孔材料，具有优良的吸声特性[1]。相较于传统吸声材料如玻璃纤维、高分子泡沫等，泡沫铝具有易加工、耐高温、无有毒气体产生等优点，是传统吸声材料的很好替代。由于泡沫率出色的高频吸声性能，使其备受研究学家瞩目，但是其在低频范围具有局限性，通常在其背后形成一定厚度的空腔可提高低频吸声，而这种处理方式又会使得高频吸声性能有所下降。

Fujiwara等[2]首次在混响室中观察到了二次余数扩散体(quadratic residue diffuser, QRD)在低频附近非预期的较高吸声现象以来，QRD潜在吸声能力得到了许多学者的青睐。二次余数扩散结构[3-5]是将数论理论和漫反射原理结合设计的具有良好扩散效果的反射结构，结构的局部表面阻抗沿表面按照二次余数序列规律变化，声波入射到结构表面经历不同深度的凹槽后产生不同相位差的反射声波，这些不同相位相同波幅的声波在远场处能获得均匀的波振面，从而在结构表面半圆范围内得到均匀分布的声压，并在结构表面具备一定的低频吸声效果[6-7]。蔡俊等[8]研究了穿孔板与而二次余数扩散体组合后的复合体的扩散性能，并利用试验得出复合结构在低频范围保持良好的扩散性能。闵鹤群等[9-10]将微穿孔板(MPP)与二次余数扩散体(QRD)组合，使得组合体的吸声性能在低频有了较大的提升。包飞[11]分析QRD吸声原理为：声波入射到扩散体后从不同深度的腔体反射回来，声波经历不同距离的相位不一致，结构表面处产生干涉抵消现象。

泡沫铝复合二次余数扩散体背腔结构可能提升泡沫铝吸声体的吸声性能，改善材料的吸声性能缺陷，然而目前并未有此方面的研究。因此本研究基于二次余数扩散体设计，将泡沫铝板覆盖于QRD结构表面形成复合吸声体，建立有限元分析模型并对复合吸声体的吸声性能进行了分析讨论和试验验证。

1 QRD设计

根据定义，二次余数扩散体序列为

sn=n2modN

(1)

式中:sn是第n个凹槽的序列数;mod是非负剩余数;N是奇素数。例如若N=7，可得一个周期的单位深度序列为[0,1,4,2,2,4,1]，去除深度序列为0的单元腔体，构成的二次余数扩散体结构如图1所示。

图1 二次余数扩散体(N=7)示意图

每个凹槽深度是根据二次余数扩散体理论构造而成，相邻两个凹槽由刚性翼片隔开，翼片宽度为t，每个凹槽的深度可由下式得到

(2)

式中:sn为序列数;λ0为设计频率;N为奇素数。

由于凹槽宽度影响扩散瓣的大小，周期性宽度过小会对中低频的扩散性能产生影响，其设计宽度为

(3)

式中:c为流体介质的声速;b为设计宽度;fmax为最大设计频率。

2 仿真分析和试验验证

利用有限元分析软件COMSOL Multiphysics，建立了泡沫铝板-QRD复合吸声体的声学性能分析模型。如图2所示，所建立的模型包括：①PML完美匹配层，该层可吸收来自任意方向的入射声波以模拟无反射边界条件；②压力声学区域；③泡沫铝板与QRD结构形成的复合吸声体。

图2 泡沫铝板-QRD复合吸声体的网格化模型

平面波入射条件是通过在压力声学区域设置背景压力场来实现：在压力声学区域(背景压力场)中，平面波垂直入射到泡沫铝板表面，一部分声波被泡沫铝板反射回来并反向传播至PML层被完全吸收，一部分继续向前传播进入泡沫铝板的孔隙内部被损耗，而剩余未被消耗的声波则进入QRD不同深度的背腔凹槽中经过腔底表面的反射，在背腔表面形成相位差，从而产生声压差，声压差趋于平衡状态的趋势使表面声波产生均衡流动，从而产生吸声额外的效果。

经过计算以后，可提取反射声压并计算声反射系数

(4)

式中:ps为扩散声压;pin为入射声压。吸声系数可由下式计算

(5)

利用北京声望的SW477和SW422阻抗管测试系统(如图3所示)，对泡沫铝板-QRD复合吸声体样品的吸声系数进行了测量。根据阻抗管的内径不同，有效测试频率范围也有所区别：①SW477内径100 mm，测试频率范围250～1 600 Hz；②SW422内径30 mm，测试频率范围1 000～6 300 Hz。对于重叠的测试频率范围1 000～1 600 Hz，两个不同内径的阻抗管均能获得相应的吸声系数，一个简单的处理办法是取二者的平均值，因此综合两个阻抗管的测试结果可以覆盖250～ 6 300 Hz的频率范围。

图3中还给出了部分泡沫铝板-QRD复合吸声体样品照片，表层泡沫铝板厚度为5 mm,外圈直径分别为99.8 mm和29.8 mm(分别适用于SW477和SW422阻抗管)，孔隙率均为0.8。QRD背腔结构由硬树脂材料3D打印而成，并使用硅橡胶粘贴在泡沫铝板后，对于QRD背腔的设计：①选择7阶QRD结构，计算出背腔深度比值为l1∶l2∶l3∶l4∶l5∶l6=1∶4∶2∶2∶4∶1；②选择最小设计频率170 Hz，每个背腔深度的绝对值可由式(2)计算得到，并保持比值不变的情况下对基准深度与宽度做出调整将结果列于表1中。

图3 阻抗管测设设备及泡沫铝板-QRD复合吸声体样品

表1 大、小泡沫铝板-QRD吸声体样品的结构参数

考虑到要兼顾阻抗管试验中高频与低频测量范围的差异，有限元分析中的计算模型及参数设置全部模拟试验过程中的相应设置：①仿真计算中的QRD背腔结构参数见表1；②泡沫铝板采用Johnson-Champoux-Allard多孔介质声学模型，通过多孔材料的声学参数反演方法[12]获得近似于试验泡沫铝板的声学参数，孔隙率φ=0.8，流阻率R=4.232×104Pa·s/m2。

图4对比了平面波垂直入射条件下，泡沫铝板-QRD复合吸声体吸声系数的有限元仿真计算与试验测量结果。从图中可以看出，频段范围内计算结果与试验测量整体上较为吻合，说明了本文建立的仿真分析方法是正确的。此外，在某些窄带范围二者也存在一定的偏差，例如：①在1 400 Hz的吸声峰值处试验测量结构高于仿真数值0.05左右，并且试验测量显示在1 800 Hz处出现第二吸声峰值、而仿真计算则无此现象；②在2 200 Hz左右的(仿真计算)吸声系数谷值比2 300 Hz左右的试验测值低0.2左右，且峰值频率有所不同。

图4 垂直入射条件下，泡沫铝板-QRD复合吸声体吸声系数的试验测量与仿真计算结果对比

经过多次试验测量与仿真计算发现，以上偏差主要来源于两点因素：①用于QRD背腔3D打印的硬树脂材料具有微弱的吸声效果，使得传播过程中的部分声波被其吸收，而仿真计算是建立在背腔为刚性边界条件下的无声吸收假设，并且由于打印精度的限制，使得打印样品也不是完全致密而是存在一些微小的气孔，使得试验整体的实际声阻抗偏离于仿真计算值，导致二者的结果对比存在差异。②仿真计算是基于二维平面模型，各背腔宽度均相等，而试验测量受限于系统限制、必须采用圆柱型样品，导致各背腔的空间大小有所不同(图3(b)、3(c)所示)，有可能导致声波进入QRD背腔后反射出的相位差与仿真计算有所区别，同样也会导致试验结果与仿真计算存在差别。

为增加仿真计算的准确性，建立了三维7阶QRD复合模型(样品0)，参数与试验大样品保持一致，样品模型如图5所示，仿真结果如图6所示。三维吸声体相较于二维吸声体在第二吸声峰值处吸声系数略微高处0.002左右，样品0的整体吸声曲线与样品1二维吸声体的吸声曲线较为吻合，因三维吸声体计算量大，所需时间长，在本文中吸声体类型众多，不太适用于三维吸声体做仿真分析，则以二维模型作为替代简化仿真计算，减少所需时间。

图5 三维7阶QRD复合吸声体仿真模型

图6 垂直入射条件下，二维7阶QRD吸声体与三维7阶QRD吸声体计算结果对比图

3 参数化分析及讨论

3.1 经典QRD腔体参数分析

考虑两种复合吸声体：①5 mm泡沫铝板+普通背腔(均一深度48 mm)组成的复合吸声体；②5 mm泡沫铝板+QRD背腔(最大深度48 mm)组成的复合吸声体，图7是在平面波垂直入射条件下两种不同的复合吸声体吸声系数的对比。从图7中可以看出：①普通背腔吸声体在1 000 Hz左右出现吸声峰值具有一定的吸声带宽，QRD背腔吸声体的第一吸声峰值频率约为1 200 Hz，简单来说，这是因为普通背腔吸声体的空腔体积相对更大，由空腔共振引起的低频吸声峰值频率相应更低；②在中高频范围，普通背腔吸声体的吸声系数降低非常明显，而QRD背腔吸声体仍然能保持良好的吸声性能，例如两者在3 300 Hz的吸声系数分别为0.1和0.85左右，表明泡沫铝板-QRD背腔复合吸声体具有良好的宽频吸声特性。

图7 垂直入射条件下，普通背腔复合吸声体与QRD背腔复合吸声体的吸声系数对比

进一步地，考虑7阶QRD结构不变，但是调整背腔各凹槽的深度绝对值，分别新设计了总厚度不同的两种QRD背腔复合吸声体，其中泡沫铝板各项参数保持不变，具体各结构参数如表2所示。

表2 不同总厚度的泡沫铝板-QRD吸声体的结构参数

图8是垂直入射条件下，三种不同总厚度的泡沫铝板-QRD复合吸声体的吸声系数对比。从图8中不难看出：①样品1的低频吸声效果相对较差，第一吸声峰值出现在1 400 Hz左右，随着背腔深度的增加，第一吸声峰值频率向低频移动，样品3的第一吸声峰值出现在900 Hz左右，样品4则约为800 Hz，说明增加背腔深度的确能有效提高复合吸声体的低频吸声性能；②在中高频段，样品3、4的吸声系数都有一定程度降低，特别是样品3在2 900 Hz、样品4在3 500 Hz的吸声系数都下降到0.4，但是样品1整体趋势较为稳定、保持吸声系数0.8以上。总的来说，在兼顾低频吸声和宽带吸声方面，依靠增加背腔深度的途径要综合考虑和有所取舍。

图8 垂直入射条件下，不同总厚度的QRD背腔复合吸声体的吸声系数对比

为分析QRD背腔复合吸声体的峰值共振特性，进一步分析了样品1中各个吸声峰值频率附近的复合吸声体内的声强分布情况(如图9所示)。吸声达到峰值主要是来源于背腔与泡沫铝板的耦合共振所致，吸声体的不同吸声峰值频率对应不同深度的子背腔共振：①在第一吸声峰值频率1 400 Hz，声能经过泡沫铝板的传播之后，主要集中于最大深度(48 mm)的l2、l5子背腔入口处，表明一阶吸声峰值是由l2、l5子背腔的共振吸收引起；②随着频率增加，声能在传播过程中不再主要局限于最大深度子背腔，而是趋向于平均分布于各个子背腔，特别当频率增加到2 000 Hz和2 900 Hz时，声能传播又趋于集中分布，分别集中于中间深度(24 mm)的l3、l4子背腔入口处和最小深度(12 mm)的l1、l6子背腔入口处，空腔深度越浅，相应的共振吸声频率越高，这表明了二阶吸声峰值和三阶峰值分别是由这两组不同深度的子背腔引起的。

(a) 1 400 Hz

进一步地，考虑不同阶次的QRD背腔组成的复合吸声体的吸声特性，经过多次仿真计算后，选择11阶QRD背腔组成的复合吸声体样品5，并与7阶背腔复合吸声体进行对比分析。根据计算，样品5的各个子背腔深度比例分别为l1∶l2∶l3∶l4∶l5∶l6∶l7∶l8∶l9∶l10=1∶4∶9∶5∶3∶3∶5∶9∶4∶1，11阶腔体参数如表3所示。

表3 不同阶次QRD背腔的复合吸声体结构参数

图10是垂直入射条件下，7阶和11阶QRD背腔组成的复合吸声体的吸声系数计算结果对比。不难看出，11阶背腔结构比7阶背腔结构的一阶峰值频率稍高、且绝对数值相差不大，同样具有良好的低频吸声特性。需要指出的是，11阶背腔结构在2 400 Hz并无吸声低谷，相较于7阶背腔结构表现了更好的高频吸声性能。

图10 垂直入射条件下，7阶QRD背腔与11阶QRD背腔复合吸声体吸声系数计算结果对比

3.2 嵌套式QRD腔体分析

为了进一步分析泡沫铝板-QRD复合吸声体的吸声特性，设计了结构形式相对更加复杂的三种嵌套式复合吸声体。第一种是叠加嵌套式吸声体，即在单一子背腔内复合单个周期的扩散体，设计了样品6如图11(a)所示，每个子背腔深度数值进行相同的叠加，单个周期的 腔体数增加至9个，总体比例不再是经典二次余数比例的1∶4∶2、且增加了整体腔槽的深度，因此对该嵌套式复合吸声体作改进设计：减小腔槽宽度为5 mm，最大深度与样品1中腔槽最大深度48 mm保持一致，具体结构参数列于表4。

(a) 叠加嵌套式复合吸声体

表4 三种嵌套式复合吸声体结构参数

图12给出了垂直入射条件下，第一种嵌套式复合吸声体的吸声系数计算结果。可以看出：①相对于非嵌套式样品1，嵌套式样品6的一阶吸声峰值略微向高频偏移且数值稍有增加；②嵌套式样品6在1 700 Hz没有出现明显的吸声谷值，在1 300～2 000 Hz的吸声数值整体高于非嵌套式样品1；③频率增加到2 700 Hz后，吸声系数表现出明显下降的趋势，特别是3 300 Hz的吸声系数降到谷值0.4，分析原因可能为该叠加嵌套式扩散体腔体的最小深度增加，使得高频段的吸声特性有所下降。总的来说，第一种嵌套式复合吸声体的腔槽深度分布更加均匀，在中低频的吸声性能较好、相对吸声带宽较窄，高频段的吸声性能上更接近于普通的均一深度背腔复合吸声体。

图12 三种嵌套式复合吸声体的吸声系数

第二种嵌套式吸声体是分布嵌套式吸声体，以经典QRD各个腔槽的最大深度为基准深度，将每个腔槽分成3个同宽度复合1∶4∶2比例的半周期QRD腔槽，设计了样品7如图11(b)所示，具体结构参数同样列于表4。这种嵌套式吸声体的特点是：在保持经典比例的基础上减小了腔槽最小深度，增加小深度腔槽数量。从图12可以看出：①与样品6相比，一阶峰值频率向高频稍有偏移，且峰值频率过后的吸声系数出现了明显下降，低频吸声带宽减小，这是因为对低频声起主要吸收作用的大深度腔槽数量减少；②在中高频段如2 200～4 000 Hz的平均吸声系数明显高于样品1和样品6 ，这是因为小深度腔槽数量的增加，而小深度腔槽对应的共振吸声频率较高，因此提高了中高频段的吸声系数。

第三种嵌套式吸声体是非对称不等宽度分布嵌套式吸声体，其特点是保留样品1中大深度腔槽，分割小深度腔槽，增加小深度腔槽的周期序列数量，设计了样品8如图11(c)所示，具体结构参数同样列于表4。相对于分布嵌套式吸声体样品7，这种结构增加了三个较长腔体的宽度，使得吸声体在低频具有良好的吸声性能，而高频则以泡沫铝自身的高吸声特性为主、辅以不同长度的小深度腔槽的共振吸声效果，使得吸声系数曲线具备良好的宽带吸声效果(见图12)。

3.3 泡沫铝参数对结构吸声系数的影响

3.3.1 泡沫铝声学参数的影响

图13是垂直入射条件下，泡沫铝板的结构参数包括孔隙率、流阻率、曲折因子的变化对复合吸声体吸声系数的影响，其中仿真模型为样品1中的7阶经典QRD吸声体。从图中可以看出：①减小曲折因子使得一阶吸声峰值频率向高频移动，一阶峰值频率偏移200 Hz，二阶峰值频率偏移将近400 Hz；②流阻率的改变对吸声系数大小和吸声峰值频率影响较小；③孔隙率的变化对吸声系数的影响较为明显，孔隙率的减少使得吸声峰值频率向低频偏移较多，其中二阶峰值频率偏移250 Hz,三阶峰值频率偏移将近500 Hz,且在1 000 Hz左右吸声系数有微小上升趋势，但在中高频呈下降趋势，即吸声系数曲线的整体震荡较为明显，整体的平均吸声系数降低0.16左右。综合分析，三个结构参数中孔隙率和曲折因子对复合吸声体的吸声性能有一定影响，其中孔隙率的影响较为突出。

(a) 曲折因子的影响

3.3.2 泡沫铝板厚度的影响

进一步以样品1(7阶QRD吸声体)为仿真模型，将泡沫铝板厚度作为变量，其余参数保持不变，研究板厚对吸声系数的影响，仿真结果如图14所示。随着泡沫铝板厚度增加，吸声系数曲线向低频移动，且第一吸声峰值略有下降。样品9相较与样品4在1 500 Hz频段内吸声系数变化并不明显，在1 500～3 000 Hz左右的中频段，曲线向低频移动较为明显，在3 000 Hz以上吸声谷值降低0.1左右，吸声峰值上升0.03左右，可见5 mm厚度差距对于整体低频吸声系数的变化并不显著。样品10中吸声曲线大幅向低频移动，在2 500 Hz内各个峰值都有所降低，第二、三峰值降低约0.2左右，但出现第三峰值且吸声带宽增加，在2 500 Hz以上曲线呈上升趋势出现第五峰值，整体曲线在低频范围内具有高吸声特性，且在高频具有较高的吸声效果。

图14 垂直入射条件下，不同泡沫铝板厚度对于吸声体吸声特性对比图

4 结 论

本文详细讨论了泡沫铝板-QRD复合吸声体的正入射吸声特性，首先利用试验验证了数值仿真计算模型的准确性；然后研究了最大背腔深度与QRD阶数对结构吸声的作用，并改进背腔结构，分析嵌套式QRD背腔的吸声特性；最后讨论了泡沫铝板中的声学参数对结构吸声系数的影响。基于有限元分析对吸声体得到以下结论：

(1) 泡沫铝板-QRD复合吸声体相较于单一空腔复合泡沫铝板吸声体在中高频范围内具有更多的共振吸声峰值与更宽的吸声频带。

(2) 在泡沫铝板-QRD复合吸声体的设计中，增加背腔深度的确能有效提高复合吸声体的低频吸声性能，但中高频段的吸声系数有所下降，在兼顾低频吸声和宽带吸声方面，依靠增加背腔深度的途径要综合考虑。

(3) 叠加嵌套式吸声体在中低频的吸声性能较好、相对吸声带宽较窄；分布嵌套式吸声体在低频吸声带宽较小，中高频吸声效果突出；非对称不等宽度分布嵌套式吸声体在低频具有良好的吸声性能，在高频段也具备良好的宽带吸声效果，但整体吸声峰值略向高频移动，在500～4 000 Hz范围内的平均吸声系数最高。

(4) 泡沫铝材料的厚度及声学参数对于复合吸声体具有一定的影响，孔隙率的减少使得吸声峰值频率向低频偏移较多，但吸声系数曲线的整体震荡较为明显，整体的平均吸声系数也有所降低。泡沫铝板的厚度增加使得吸声峰值频率也向低频偏移，在厚度为20 mm时高频曲线上升并向低频大幅偏移，整体平均吸声系数有所降低。