王 谦， 何 琴

(兰州交通大学 数理学院， 甘肃 兰州 730070)

椭圆型偏微分方程是用于描述物理平衡稳定状态的一类方程[1]。偏微分方程的正问题是由已知方程的定解条件求定解问题的解，而反问题[2]是由部分已知信息求定解问题中的某些未知量。由于大部分反问题是不适定的，正则化方法就成为解反问题的主要工具[3-6]。虽然有许多学者致力于研究正则化方法，但很少研究正则化解的收敛速度[7-10]。

本文研究了椭圆型方程的系数识别问题，考虑如下椭圆型方程Dirichlet问题：

-div(q∇u)+c(x)u=finΩ，

(1)

u=0 on ∂Ω。

(2)

其中：q是未知系数，利用u在Ω上的观测值来反演q。将Tikhonov正则化应用于新的凸能量泛函Jzδ， 并求出其解的收敛速度。 对于凸能量泛函的设定是处理该问题的难点， 既要保证泛函的凸性， 又要易于求解收敛速度。

通过多次检验， 构造如下泛函：

(3)

其中：ρ>0 是正则化参数，q*是q的先验估计。

本文的主要贡献：证明了泛函(3)的严格凸性，从而在容许集内极小化问题有唯一解；提出了形式上相对简单的源条件，进而证明了最优解的收敛性，并给出了收敛阶。

1 反问题设置

成立，则称u为问题(1)和问题(2)的弱解。如果系数q属于下列集合

(4)

(5)

(6)

其中：

(7)

且CΩ是一个仅依赖于区域Ω的常数。在Poincaré-Friedrichs不等式中，有

(8)

2 Tikhonov 正则化

(9)

其中：δ>0。于是问题转变为由zδ重构q。为了解决问题，在集合Q上最小化凸泛函是

(10)

由于问题是不适定的，使用稳定的Tikhonov正则化方法求解它，即解决最小化问题

(11)

在证明之前，先引入q*最小范数解的概念，以及U(q)的一些性质。

(12)

(13)

引理证毕。

-div(q∇η)+c(x)η=div(h∇U(q)) inΩ，η=0 on ∂Ω

(14)

此外， 对于所有h∈L∞(Ω)， 有