杨睿之

什么样的数学研究是值得做的，什么样的数学定理是好的数学研究成果?这显然不是一个数学问题。但数学工作者对这个问题的看法无疑会影响他的研究志趣，进而影响他的具体工作，而数学家共同体对这个问题看法的分布则会影响数学这门学科的发展趋势。按照典型的形式主义数学哲学的解读，所有的数学研究都可以被看作是在某个给定的形式化公理系统中做证明。而一般认为，该公理系统的定理集是能行可枚举的（详见后文），即，存在一个计算机程序来枚举该公理系统所有可能的定理。然而，几乎没有人认为数学工作应该是这样的。即使利用程序辅助寻找证明，数学工作者也至少需要解读、挑选有意义的结果。因此，这个并非数学问题的问题却与几乎所有数学工作者的研究工作密切相关，难以回避。如果承认对该问题以及相关问题的回答并非完全主观任意，而是存在主体间就这些问题相互交流、考量、评判并形成共识的空间，那么数学哲学便是可能的了。

从早期以希尔伯特为代表的经典形式主义到科恩等人关于公理化集合论的形式主义，形式主义在现代数学哲学的讨论中一直在场。然而，自从哥德尔的两个不完全性定理的发现揭示希尔伯特形式主义原版的研究纲领不可实现，形式主义在严肃的数学哲学讨论中始终处于相对弱势的地位。尽管如此，形式主义对数学工作者仍然有着强烈的吸引力，尽管这一吸引力主要来自可以回避进一步的追问。……