夏雨 李锦博 余颖烨

摘  要：為获得带支撑的粘弹性阻尼器单自由度弱非线性耗能结构随机地震响应的求解方法，利用积分型本构关系建立单自由度弱非线性耗能结构的运动方程，通过随机等效线性化法和等效阻尼原理将方程线性化，基于线性随机振动理论分析方法，推导出求解结构位移和速度响应值的解析方法和数值解.通过典型算例，验证了带支撑的开尔文型粘弹性阻尼器对于杜芬体系具有良好的减震效果，表明了所提方法的有效性;同时分析了阻尼器支撑刚度对此类弱非线性结构减震效果的影响，研究表明：支撑刚度越大，减震效果越好.

关键词：随机振动;弱非线性体系;粘弹性阻尼器;随机等效线性化法

中图分类号：TU318           DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.03.004

0    引言

在地震工程中大量存在着随机振动现象.由于结构材料的非线性、外部荷载的不确定性等，在强烈地震动作用下，工程结构会进入非线性[1]，因此，结构的非线性随机振动问题一直受到国内外学者的广泛关注[2-3].

非线性随机振动的分析方法可以划分为两大类[4]：第一类是面向数字特征的方法，主要解决方法有随机摄动法、随机平均法、虚拟激励法、等效线性化法、等效非线性系统法等;第二类是面向概率密度的方法，主要问题是求解随机反应过程的转移概率密度需要满足的FPK（fokker-planck-kolmogorov）方程.其中等效线性化法计算简便，计算效率较高，适用性强，被广泛应用到非线性随机振动分析中[5-6].随机等效线性化理论日趋成熟，但仍在不断发展[7-8].

目前，粘弹性阻尼器耗能减震结构已广泛应用于结构抗震工程中[9]，经过40多年的理论和实践研究表明，在结构中安装抗震装置，可以有效减少地震作用下结构的反应或破坏，提高结构的抗震性能.一般情况下，支撑刚度是影响粘弹性阻尼器减震效果的主要参数，研究表明，耗能器的减震效果随着支撑刚度的增大而增大[10].

现阶段，大多数国家在实际工程中对地震作用的计算仍普遍采用响应谱法，因此，建立可直接用于响应谱方法的线性以及非线性耗能减震结构的等效结构具有重大意义[11].国内外对于线性耗能减震结构的理论研究已经取得了丰硕的成果[12-15]，而由于非线性随机振动问题是一个难度颇大的研究领域，因此，对于设置有粘弹性阻尼器的非线性耗能减震结构的研究成果相对较少.

Xia等[16]研究了添加有粘弹性阻尼器的弱非线性结构在双轴地震激励下的随机响应特性，对于此类结构的随机响应值提供了一种求解思路和分析方法.文献[16]的核心思想是独立地将非线性结构等效为线性结构之后，再将粘弹性阻尼器安装到等效的线性结构上进行计算.但是，将粘弹性阻尼器安装到非线性结构上，势必会改变原非线性结构的刚度和阻尼，其位移响应方差和速度响应方差也会随之改变.而由随机等效线性化法求得的等效结构的等效刚度和等效阻尼是依赖于等效结构位移和速度响应方差的函数.文献[16]将等效结构的等效刚度和等效阻尼设为已知项，即孤立地将原非线性结构等效为线性结构，这样求解出的等效刚度和等效阻尼等同于忽略了粘弹性阻尼器对等效刚度和等效阻尼的影响，显然，该方法的本质仍是对线性耗能减震结构随机响应值的求解.

鉴于此，本文提出一种将添加有带支撑粘弹性阻尼器的弱非线性结构整体进行等效线性处理的思想，基于这种思想，将随机等效线性化法、频域分析法和粘弹性阻尼器的等效阻尼原理相结合，获得了一种切实有效的求解带支撑粘弹性阻尼器弱非线性结构随机响应值的分析方法，使此类结构的动力可靠性分析成为可能.该方法可求解含有任意粘弹性阻尼器的一般弱非线性结构，可直接应用于响应谱法的抗震工程设计中.

1    线性单自由度耗能结构本构方程

本文采用带支撑的开尔文型粘弹性阻尼器[17-18] ，图1、图2分别为原阻尼器计算简图和支撑影响的修正阻尼器计算简图，图3为等效阻尼计算简图.单自由度结构的质量、刚度和阻尼为[m]、[k]和[c]. [kb1]为支撑刚度，[kQ1]、[cv]分别为开尔文阻尼器的刚度、阻尼，[kG1]为修正阻尼器平衡模量，[p0G1（t）]为修正阻尼器阻力，[hG1（t）]为修正阻尼器的松弛函数，[CG1]为修正阻尼器的等效线性阻尼.结构相对于地面的位移为[u]，阻尼器和支撑相对于地面的位移分别为[up]和[ub]. [PG1（t）]为阻尼器的总阻尼力.

将该粘弹性阻尼器安装到线性单自由度结构上，其耗能结构方程可表示为[14]：

[mu+cu+ku+PG1（t）=W（t）]        （1）

式中：[u]、[u]和[u]分别为结构相对地面的位移、速度和加速度，[W（t）=mag（t）]是平稳的随机地震激励，总阻尼力[PG1（t）]的相关参数如下：

[PG1（t）=kG1u+0thG1t-τuτdτ]         （2）

[kG1=kb1kQ1kb1+kQ1]                           （3）

[P0G1（t）=0thG1t-τuτdτ]             （4）

[ω2=k+kG1m]                          （5）

[CG1=k2b1cv（kb1+kQ1）2+ω2c2v]                 （6）

2    弱非线性单自由度耗能结构振动

方程的线性化和等效阻尼

考虑高斯白噪声激励下的单自由度弱非线性耗能结构，其运动方程为：

[mu+cu+ku+εfu，u+kG1u+]

[0thG1t-τuτdτ=W（t）]            （7）

式中：[W（t）=mag（t）]是平稳的零均值正态过程，[f]为非线性力，[ε]是小参数（[0<ε?1]）.设与原方程等价的线性方程为：

[meu+ceu+keu+kG1u+0thG1t-τuτdτ=W（t）] （8）

文中不考虑非线性惯性力，固假设[me=m].

假定原非线性随机系统公式与随机等效线性化系统公式的误差为：

[ε0=meu+cu+ku+εfu，u+kG1u+0thG1（t-τ）u（τ）dτ-][mu-ceu-keu-kG1u-0thG1（t-τ）u（τ）dτ]          （9）

经简化可得：

[ε0=gu，u-c1u-k1u]                   （10）

[c1=ce-c]，[k1=ke-k]，[gu，u=εfu，u]   （11）

由式（11）得：

[Eε20=Egu，u-c1u-k1u2]        （12）

若要使得[Eε20]取极小值[1]，则有：

[?Eε20?c1=0] ， [?Eε20?k1=0]             （13）

由這个条件并且注意期望[E]与导数u的可交换性，得：

[Eugu，u-c1Eu2-k1Eu，u=0]       （14）

[Eugu，u-c1Eu，u-k1Eu2=0]       （15）

联立以上方程可得所要求的参数：

[c1=Eu2Eugu，u-Eu，uEugu，uEu2Eu2-Eu，u2]   （16）

[k1=Eu2Eugu，u-Eu，uEugu，uEu2Eu2-Eu，u2]   （17）

[W（t）=mag（t）]是平稳的零均值正态过程，因此：

[k1=E[?g（u，u）?u]]，[c1=E[?g（u，u）?u]]     （18）

其中：[k1]、[c1]为与等效结构位移和速度响应方差有关的函数.而文献[16]算例中设[k1]、[c1]为已知项，需联立求解.将[P0G1t=0thG1t-τuτdτ]等效为线性的阻尼力[cG1u][17]，并代入式（8），则等效结构方程可以转化为：

[mu+ce+cG1u+ke+kG1u=W（t）]   （19）

上式可简化为：

[u+2ξ1ω2u+ω22u=W（t）/m]              （20）

式中：

[ξ1=ξe+ξG=ce2mω2+cG12mω2] ，

[ω22=ω2e+kG1m=ke+kG1m]                    （21）

根据线性随机振动理论可得平稳反应位移和速度响应方差为[19]：

[σ2u=πS02ξ1ω32]                                  （22）

[σ2u=πS02ξ1ω2]                                  （23）

将式（6）、式（11）、式（18）、式（22）、式（23）联立，即可求解得结构的位移和速度响应方差.其中，式（6）中的[ω]由[ω2]替换.

3    算例

如图4所示，图4（a）为含有考虑支撑的开尔文型粘弹性阻尼器单自由度耗能弱非线性结构，图   4（b）为其等效结构，其质量、刚度、阻尼分别为[m=2] kg， 结构刚度[k=100]  N/m，[c=][2] N?s/m， [ε]取0.01，并联的阻尼器性能参数分别为：支撑[kb1=][200] N/m，平衡模量[kQ1=][200] N/m，单元阻尼系数取[cv=30] N?s/m.地震激励[ag（t）]是均值为0、谱密度为[S0]的平稳正态过程，谱强度因子             [S0=0.000 5] m2/s3.计算添加有带支撑开尔文型粘弹性阻尼器的Duffing体系位移和速度响应方差.

考虑白噪声干扰下的杜芬体系，由式（7）可得结构的耗能方程为：

[mu+cu+k（u+εu3）+kG1u+]

[0thG1t-τuτdτ=mag（t）]          （24）

上式可简化为：

[u+2β0u+ω02（u+εu3）+kG1mu+]

[1m0thG1t-τuτdτ=ag（t）]         （25）

式中：

[ω20=km=50 s-2]                         （26）

[ξ0=c2mω2=12ω2]                     （27）

[β0=ξ0ω2=12]                           （28）

[ω22=ke+kG1m]                            （29）

设与其等价的线性方程为：

[u+2βeu+ω2eu+kG1mu+]

[1m0thG1t-τuτdτ=ag（t）]          （30）

其误差项为：

[ε0=g（u，u）-β1u-ω1u]              （31）

式中：

[g（u，u）=εω20u3]，[β1=2（βe-β0）]，[ω21=ω2e-ω20]   （32）

在均值为0的平稳正态白噪声激励下有：

[ω1=ω2e-ω20=E[?g（u，u）?u]=]

[3εω20E（u2）=3εω20σ2u]               （33）

[β1=?g（u，u）?u=2（βe-β0）=0]         （34）

将式（34）代入式（30），原方程变为：

[u+2ξ0ω2u+ω22u+1m0thG1t-τuτdτ=ag（t）]           （35）

式中：

[ω22=ω2e+kG1m=ke+kG1m]                   （36）

由式（3）得：

[kG1=kb1kQ1kb1+kQ1=100 N/m]                  （37）

将式（32）、式（33）代入式（36）可得：

[ω22=ω1+ω20+kG1m=100+1.5σ2u]     （38）

将[P0G1t=0thG1t-τuτdτ]等效为线性的阻尼力[cG1u]，由式（6）得：

[cG1=k2b1cv（kb1+kQ1）2+ω22c2v]             （39）

原方程变为：

[u+2ξ1ω2u+ω22u=ag（t）]             （40）

式中：

[ξ1=ξ0+ξG=ξ0+cG12mω2]                 （41）

由式（37）可求得[ce=c]，这是因为原方程非线性项中只有弹性回复力是非线性的，因此，将式（22）、式（38）、式（39）联立求解可得：

[σu=2.150×10-3] [m]，[ω2=10] [s-1]，[cG1= 4.8] N?s/m

（42）

则等效结构的位移响应方差为：

[σ2u=4.623×10-6] [m2]                （43）

将式（41）、式（42）代入式（23）可求得等效結构的速度响应方差为：

[σ2u=πS02ξ1ω2]                         （44）

对于实际结构，[ξ0≤0.05]，而阻尼器提供的附加阻尼比[ξg≤0.2]0 [17].在本文算例中，将式（42）代入式（27）、式（41）可得：

[ξ0=0.05]，[ξg=0.12]                 （45）

由图5和表1可以看出，当支撑刚度为定值时，阻尼器阻尼系数越大，结构位移响应值越小.在阻尼器支撑刚度小于600 N/m时，当阻尼器阻尼系数小于30 N/m时，等效结构的位移响应值随着阻尼器阻尼系数的增大而逐渐减小;当阻尼器阻尼系数大于45 N/m时，等效结构的位移响应值随着阻尼器阻尼系数的增大而逐渐增大;当阻尼器阻尼系数在30～45 N/m之间时，结构位移响应值的变化幅度趋于平缓.当阻尼器支撑刚度大于600 N/m时，等效结构的位移响应值随着阻尼器阻尼系数的增大而逐渐减小，而等效结构的减震效果变化情况与等效结构位移响应值保持一致.

由图6和表2可以看出，当阻尼器阻尼系数为定值时，阻尼器支撑刚度越大，结构的位移响应值越小.当阻尼器阻尼系数为定值时，结构位移响应值随着阻尼器支撑刚度的增加而减小.当阻尼器支撑刚度大于2 000 N/m时，等效结构位移响应值的变化幅度逐渐趋于平缓，而等效结构的减震效果随着阻尼器支撑刚度的增大而逐渐增大.

4    结论

本文研究了一种含有粘弹性阻尼器的单自由度弱非线性耗能结构，并对其在平稳的随机地震激励下的响应特性进行了系统的研究，提出了一种可以有效求解非线性耗能减震结构随机响应值的新方法.首先，采用整体本构关系，建立了包含普通积分模型的粘弹性阻尼器和支撑的单自由度弱非线性结构的微分和积分运动方程;然后，利用等效阻尼原理将粘弹性阻尼器的阻尼力线性化，得到了等效结构的运动方程;最后，基于随机等效线性化法和频域法，通过联立求解，推导并求解出了结构的速度和位移响应标准差和方差的数值解.

研究表明，对于含有粘弹性阻尼器的杜芬系统，当阻尼器阻尼系数在一定范围内变化时，等效结构计算的位移标准差随着阻尼器阻尼系数的增大而逐渐减小，而粘弹性阻尼器对此类结构有明显的减震效果，其支撑刚度对减震效果影响较大，支撑刚度越大减震效果越好.

最后应指出，随机等效线性化法属于近似解，甚至对于Vanderpol等体系有时会得到错误的答案[5]，因此，如何获得求解精度更高且适用性更广的求解方法以及更为复杂的非线性多自由度耗能减震结构，这将是需要进一步开展的研究工作.本文方法可以为此类结构的抗震设计提供有益的参考，并且可以为含有粘弹性阻尼器的多自由度弱非线性结构和强非线性结构的随机响应问题提供参考依据.

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Random seismic response characteristic of weak nonlinear energy

dissipation structure with viscoelastic damper and supporting brace

XIA Yu， LI Jinbo， YU Yingye

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545006， China）

Abstract： To obtain the solution for the random seismic response of weak nonlinear SDOF energy      dissipation structures for braced viscoelastic dampers， a related equation of motionis established based on the integral constitutive relationship.The equationis linearized by the stochastic equivalent             linearization method and the equivalent damping formula，based on the stochastic vibration theory， the  numerical solutions of the displacement and velocity response are derived.Through a typical example，it is verified that the Kelvin viscoelastic damper with brace has a good shock absorption effect on the   Duffing system， which shows the effectiveness of the proposed method.At the same time， the impact of the brace stiffnesson the shock absorption effect of this type of nonlinear structure is analyzea.The  greater the brace stiffness is， the better the shock absorption effect is.

Key words： random vibration; weak nonlinear system; viscoelastic damper; stochastic equivalent linearization.

（責任编辑：罗小芬、黎   娅）