王海云,袁安安,朱洪强

(南京邮电大学理学院,南京 210023)

计算流体力学的多数问题都可以归为非线性双曲守恒律方程,这类方程最大的特点是方程的解可能含有间断．RKDG(Runge-Kutta discontinuous Galerkin)方法[1]是求解该类方程的前沿和热点方法之一,它有众多优点,如便于进行h和p自适应,边界条件处理简单,能够应对复杂几何区域,精度高、并行效率高等,目前已有大量研究成果．h自适应方法可以根据解的情况自动调整网格,通常对间断处的网格细化处理和光滑处的网格放粗,能利用较小的代价更加精确地捕捉间断,如Hartmann[2]、Remacle[3]、Dedner[4]等利用误差估计控制网格加密,获得了很好的h自适应效果．p自适应方法[5-7]则是通过改变各单元上逼近函数的次数,实现高阶逼近和计算存储的节省．Kubatko等[5]应用p自适应RKDG方法对浅水波方程进行求解,自适应效果良好．而hp自适应方法[8-10]将这两种自适应方法结合在一起,兼有h和p自适应的优点．目前RKDG的自适应方法大多基于误差估计,而非线性双曲守恒律方程的误差估计通常比较困难．Tian等[11-12]分别对两个不同方程设计了一个基于梯度的自适应指标,实现局部DG方法的h自适应;笔者利用坏单元指示子分别给出了RKDG的h自适应[13-15]和p自适应[16]方法．本文拟在文献[13]和[16]的基础上设计一种新的hp自适应算法,以期兼有h和p自适应的优点,从而进一步提高计算效果．

1 一维RKDG方法及限制器

考虑如下一维标量双曲守恒律问题

(1)

(2)

对解中包含间断的问题,RKDG方法须使用限制器来控制数值伪振……