胡玉巧, 覃永辉,2,3, 范友康

(1.桂林电子科技大学 数学与计算科学学院,广西 桂林 541004;2.桂林电子科技大学 广西高校数据分析与计算重点实验室,广西 桂林 541004;3.桂林电子科技大学 广西密码学与信息安全重点实验室,广西 桂林 541004)

最小二乘法具有生成对称正定离散线性系统的优点。基于此特点,人们研究了许多方法用于求解各种类型的微分方程。如最小二乘有限元法[1-4],与标准的混合有限元方法相比,最小二乘有限元法具有许多令人满意的性质。例如,可以避免Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi (LBB)稳定性条件,所以等阶的插值多项式可用于所有变量,且离散所得到代数方程的系数矩阵具有对称正定的特点,在求解时便于利用合适的迭代方法,如共轭梯度法等,提高求解效率。这些和其它优点保证了最小二乘有限元法可以成功地应用于科学和工程中出现的各种各样的问题。最小二乘谱元法也被应用于近似求解数理方程,如欧式期权问题[5]以及Stokes方程[6]。

Kim等[7]给出了椭圆边界值问题的最小二乘Legendre和Chebyshev谱配置法。但数值分析结果显示,对于Chebyshev情况并不是最优的。因此,Kim等[8]对于椭圆问题考虑了基于加权范数的Chebyshev配置最小二乘法。针对具有光滑变系数的椭圆问题,覃永辉等[9]进一步发展了Legendre Galerkin谱配置最小二乘法。胡晓梅等[10]给出了抛物方程的Legendre Galerkin Chebyshev配置最小二乘法及多域格式。在流体力学领域,最小二乘伪谱方法也应用于Stokes-Darcy方程的数值求解[11]。目前的研究多是关注稳态问题,对含时间变量的相应工作较少。……