李翼 张本慧 李晓

摘要：针对《概率论与数理统计》的教学中容易出现的诸多问题，以条件概率、全概率公式和极大似然公式为例;引入了互联网公司的就业要求以增强学生的学习意识，加强定理定义分解以改善学生对定理死记硬背的现象，增添趣味案例简化学生学习定理时的难度。

关键词：互联网背景;概率论;定义分解;趣味案例

中图分类号：O13  文献标识码：C

Some understandings of probability theory teaching under

the background of Internet

Li Yi1 Zhang Benhui1 Li Xiao2

1.School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University AnhuiHuaibei 235000;

2.School of Computer Science and Technology，Huaibei Normal University AnhuiHuaibei 235000

Abstract：In view of many problems in the teaching of probability theory and mathematical statistics，taking conditional probability，total probability formula and maximum likelihood formula as examples，the employment requirements of Internet companies are introduced to enhance students' learning awareness，strengthen the decomposition of theorem definition to improve students' rote memorization of theorem，and add interesting cases to simplify the difficulty of students' learning theorem

Key words：Internet background;probability theory;definition decomposition;interesting cases

《概率论与数理统计》是高等学校的基础课程，难度较大，需要较强的逻辑思维能力。另外，《概率论与数理统计》这门课知识点众多，应用场景也较多，如何较好地掌握书中的定理和定义是研究的重中之重。

1 教学问题梳理

互联网的兴起极大地便利了人民的生活，以腾讯、阿里、华为、顺丰为例，每个公司均有大数据平台，大数据平台通过spark、hive等工具对公司的海量数据进行分析进而得到应用层的数据以及各类商务报表。而这个过程中用到的众多逻辑思维就来自于概率论。而在学习这门课时，由于概念和定义过多，而且这门课难度较大，学生在学习过程中，经常弄不清事件之间的关系与结构[1-3];计算概率的公式运用不当，设置不知道运用哪个公式求解问题;不能正确应用有关的定义、公式和性质进行综合分析、运算和证明。而目前《概率论与数理统计》存在的教学的问题如下[4-7]：（1）教学思维局限。目前普遍存在的现象是《概率论与数理统计》在授课过程中，教师偏重书中的公式和定理，没有认识到培养学生逻辑思维能力和公式推导能力，导致学生在面对众多公式时，靠死记硬背而不是自己推导。以全概率公式为例，学生在面对全概率公式时，记不清公式内容，容易死记硬背，在解题过程中容易写错公式进而做错。（2）教学手段单一。目前《概率论与数理统计》在授课过程中，绝大部分教师采用传统的“定义—定理—例题”的教学方法，过于依赖课本的定义，而课本的有些定义及教学定理晦涩难懂，并不引入适当的例子，学生难以理解。本文将以极大似然估计为例来进行讲解，如何引入生活中的例子，采用生活化的案例进行定义和定理的良好导入。（3）教学总结不够。《概率论与数理统计》是一门公共基础课，几乎高校所有專业都会开设，在《概率论与数理统计》在授课过程中，教学内容随时更新，大量的资料、题型与教学新思路的出现让我们不得不进行较多的总结和归纳反思。（4）教学方法陈旧。《概率论与数理统计》这门课公式繁多、定理复杂、题型种类繁多，在课本上给出了众多的定义和定理。很多教师将其视作单纯的数学课，没有充分调动学生的学习参与性和积极性，导致众多学生参与度不够，科学氛围不好。

针对以上四点问题，如何对课程进行改进是问题的重中之重，下面将以全概率公式、条件概率、极大似然估计三个问题点为例，结合互联网背景对概率论课程的教学改进进行详细分析。

2 多层面教学改进

例1 增强公司就业要求引入——以条件概率为例

条件概率的定义，设A，B是两个事件，且P（A）>0，称：

P（B|A）=P（AB）P（A）

为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。在条件概率的定义中，等号右边的P（AB）表示为事件A和事件B的交集。而在实际的解题过程中，很多同学容易将P（AB）和P（B|A）两者混淆，其中P（AB）表示A和B一起发生的概率，而P（B|A）表示事件A发生的条件下，事件B发生的概率。在讲解两者的区别时，应加入相关事件的分析，相关的意思是当前的事件受过去事件的影响，现实生活中有很多事件是相关事件。

在互联网公司的也要求中对条件概率的理解颇深，腾讯面试题有过如下问题：已知一对夫妇有两个孩子，其中一个是男孩，请教两个都是男孩的概率。在这个问题中，题干给出了两个重要的条件：（1）有两个孩子;（2）其中之一是男孩。而给出的问题是求解两个孩子都是男孩的概率，这个事件可以拆分为，第一个孩子是男孩，且第二个孩子也是男孩。而问题容易犯错的点为：已知条件2，其中之一是男孩，容易让人认为事件C（两个孩子都是男孩的概率）转化为（一个孩子是男孩的概率），从而得出概率为1/2。但是实际上，这是条件概率问题，如果题目已知第一个孩子是男孩或者第二个孩子是男孩，则问题的答案就是1/2。但题目已知条件为其中之一是男孩，正确的解题思路为。首先应给出4种可能出现的结果，“男男”“男女”“女男”“女女”四种概率相同的情况。当已知了其中之一为男孩时，则剔除了“女女”这种情况，剩下三种可能性概率相同，而剩下的三种结果中，“男男”的比重为1/3，故题目的答案应为1/3。

在课堂教学中引入互联网思维的案例，可以有效提高学生对定义学习的自我要求，不在局限于简单的了解，而是针对重要的定义定理有着深刻的认识，进而达到学习这门课的根本目标。

例2 加强定理分析与分解——以全概率公式的为例

在概率论中，全概率公式是以条件概率为基础的一个非常重要的公式。全概率公式定义为：设实验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2…，Bn为S的一个划分，且P（B）>0（i=1，2，…，n），则：

P（A）=P（A|B）P（B）+P（A|B）P（B）+P（A|B）P（B）

称为全概率公式，而公式的由来为：

P（A）=P（A∩S）

=P（A∩（B1∪B2∪…∪Bn））

=P（A∩B1）∪P（A∩B2）∪…∪P（A∩Bn）

=P（A|B1）P（B1）+…+P（A|Bn）P（Bn）

而在式中，最后一个等号在应用中容易被写为P（B1|A）P（A）+…+P（Bn|A）P（A），在课堂讲解时，应着引导学生分析两个公式之间的区别。等号左边需要求解A发生的概率，而P（B1|A）P（A）+…+P（Bn|A）P（A）中P（A）未知，故在推导全概率公式时显然应采用P（A|B1）P（B1）+…+P（A|Bn）P（Bn）。

因此在定义定理的讲解过程中，教师应针对学生可能出现的问题，进行充分的讲解和假设。在每个问题进行讲解时，根据学生所犯错误，进行深入探讨，加强师生联系，鼓励学生提问。

例3 增添趣味案例简化定理难度——以极大似然估计为例

矩估计和极大似然估计方法是概率论里面非常重要的两个估计方法，其中学生普遍反映极大似然估计的理解较为吃力。尤其当讲解似然函数时，相当一部分学生难以理解似然函数的本质思想和似然函数最大化的意义。因此，在课堂教学中应加入趣味案例进行定理的生活化引入。

猎人狩猎故事的引入。两个猎人甲和乙去森林打猎，突然冲出一只野兔，两人同时举枪射击，野兔应声倒下。走近之后发现野兔的身上只有一个弹孔，来自猎人甲，从以上条件如果用极大似然估计的思想估计哪位猎人的枪法最准，那么可以推出猎人甲的枪法更好一些。案例分析：根据极大似然估计的思想“一次实验就发生的事件拥有最大的概率”，只进行一次射击，猎人甲就射中了，那我们只能认为猎人甲的射法更精准。

在引入趣味案例后，不仅可以有效降低定理的难度，方便学生理解定义，消除学生的畏难情绪，还可以有效活躍课堂气氛。

3 总结

《概率论与数理统计》是高等学校的基础课程，在教学过程中因其难度较大、定义定理繁多而给教师带来诸多挑战。本文结合互联网就业要求针对《概率论与数理统计》的教学中容易出现的问题进行改进，引入了公司就业要求增强学生的学习意识、加强定理分解以改善课本诸多定理的现象、增添趣味案例简化学生学习定理时候的难度。通过教学的不断改进，让学生消除对定理定义的恐惧，让他们认识数学、喜欢数学，并尽可能地将数学知识运用到日常生活中。

参考文献：

[1]方连娣，宋明珠.基于雨课堂的《概率论与数理统计》混合式教学模式探究[J].铜陵学院学报，2019（3）

[2]邓华玲，傅丽芳，孟军，等.概率论与数理统计课程的改革与实践[J].大学数学，2004，020（001）：34-37

[3]齐小忠.概率论与数理统计创新教学模式初探[J].科学大众：科学教育，2017，000（010）：157

[4]刘焕香，等.概率论与数理统计课程的教学探索[J].时代教育（教育教学），2010

[5]刘蓉.《概率论与数理统计》教学方法探讨[J].2011年北京服装学院学科专业建设年教研论文报告会，2011

[6]姜悦.概率论与数理统计创新教学模式初探[J].科教导刊-电子版（中旬），2017，000（012）：170

[7]刘柏森.“概率论与数理统计”课程教学改革新探索[J].长春师范大学学报，2018，037（006）：162-164

基金项目：安徽省高校自然科学基金（KJ2020B07，KJ 2019B01）;安徽省高等学校省级质量工程项目（2018jyxm0519，2018kfk166，2019jyxm0201），淮北师范大学校级质量工程项目（kctd18043）

作者简介：李翼（1995— ），男，硕士，研究方向：统计模型。