余楠 丁兆东

摘 要：分析实变函数测度论中几个基本定理的证明过程，论述求解该类问题的基本方法：有限与无限的转化。给出解决测度论相关问题的一种思路。

关键词：实变函数测度论;有限与无限的转化;方法总结

1 绪论

实变函数是一门重要的数学课程，主要内容包括勒贝格测度、可测函数和勒贝格积分，其中测度理论是其建立的基础与核心。实变函数在各个领域有着廣泛的应用，但该课程理论高度抽象，证明过程需要很强逻辑性和构造性。有鉴于此，很多学者与老师总结了实变函数解题过程中的各种方法：胡鹏针对Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理进行了总结与推广[1];涂郗讨论了Lebesgue控制收敛定理的应用[2];石秀文对特征函数的应用进行了总结[3]。本文将针对测度论中相关例题进行归纳总结，给出解决测度论问题的一种常用的，有效的方法：有限与无限的转化。

在数学领域几百年的发展中，数学家们致力于将“有限”上的成果推广到“无限”，从而开拓思维，壮大现有理论体系。实变函数主要研究可数层面相关的理论，但由于可数这个与无限有关的概念十分抽象，研究起来存在一定的困难，而“有限”层面的内容目前已经比较完善，故通过一定方法先将“无限”转化为“有限”，在“有限”的理论基础上研究，再推广到“无限”。这种有限与无限的转化方法在实变函数尤其是测度论中屡见不鲜。本文结合基本定理的证明过程，阐述该种方法在测度理论中应如何使用，给出了解决测度论相关问题的一种思路。……