摘 要：本文总结和归纳了整系数多项式在有理数域上不可约的一些判定方法，并通过具体例子展示了这些方法的实际应用和局限性，扩展了相关文献的结果。

关键词：整系数多项式;有理数域;不可约

据文献[1]，每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积。这表明，复数域上不可约多项式只有一次多项式，而每个次数≥1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式或二次不可约因式的乘积。于是实数域上的不可约多项式只可能是一次多項式和判别式小于零的二次多项式。然而，有理数域上存在任意次数的不可约多项式。另一方面，文献[1]同时指出，若一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，则它可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。这一结论把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结为整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题。于是，考虑有理系数多项式的不可约的问题，只需就整系数多项式考虑即可。本文的目的是总结和归纳整系数多项式在有理数域上不可约的判定方法，这对教师讲授和初学者学习这方面的知识有一定帮助。本文约定Q和Z分别表示整数集合和有理数域，而Q[x]和Z[x]分别表示系数在Q和Z中的关于x的多项式构成的集合。

1 基本结论

本节给出涉及整系数多项式在有理数域上不可约的判定的一些事实。……