杨海霞 张会凌 吴应琴

摘 要：以线性代数教学中的一类重要问题“求矩阵多项式的逆矩阵”为例，利用多项式的带余除法，特别是综合除法介绍最常见的一类矩阵多项式求逆的具体计算方法，使得这类问题的求解简单高效、容易掌握。由于这种方法具有一定的构造性，也可使此类问题的解决思路更加清晰，激发学生后续学习的兴趣。

关键词：矩阵多项式;求逆;多项式除法;综合除法

中图分类号：O151.21文献标识码：A

Using Division to Calculate the Inverse of a Matrix Polynomial

Yang Haixia1 Zhang Huiling1 Wu Yingqin2

1.School of Education，Lanzhou University of Arts and Sciences GansuLanzhou 730000;

2.Key laboratory of Petroleum Resource Research，Northwest Institute of EcoEnvironment and Research，

Chinese Academy of Sciences GansuLanzhou 730000

Abstract：This paper takes an important problem of“calculation of the inverse of amatrix polynomiain”in the teaching of linear algebra as an example.Using polynomial division，especially the synthetic division，this paper gives an algorithm to calculate the inverse of matrix polynomial.This method makes the solution of this kind of problem simple，efficient and easy to understand.The constructive algorithm can resolve above mentioned problems efficiently.To stimulate students′ interest in followup learning.

Key words：matrix polynomial;inverse;polynomial division;synthetic division

1 緒论

关于矩阵多项式的求逆，有时可以用“凑”的方法直接得出答案。如在A2=O的条件下，可以看出E+A和E-A互逆，对于一些较为复杂的矩阵多项式，要凑出答案则需要相当的技巧和经验，学生经常会有无从下手之感。

在一般情况下求矩阵多项式的逆，首先需要回答可逆性问题。文献[1]和[2]等已基本解决了在几种典型的情况下一些矩阵多项式的可逆性的判定。这些判定法则大都用到方阵A的特征多项式，而在许多时候，A只是一个抽象的n阶方阵，无法确定其特征多项式，因而不能从根本上解决f（A）的可逆问题以及逆的具体计算问题。例如，已知n阶方阵A满足A3=2E，求证A+2E可逆并求（A+2E）-1[3]。这里，直接凑答案很困难，也无法知道A的特征多项式，因而不能使用上述文献中给出的方法求解，但利用本文给出的综合除法很容易求解（见例2）。

本文将以多项式理论为基础，利用多项式的带余除法重点解决在给定条件下一次矩阵多项式的求逆问题。

2 在f（A）=O的条件下求一次矩阵多项式aA+bE的逆